Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

4.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Заметим, что подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, которая приводится к сумме

простейших:

(x2 1)(x 2)

2(х 1)

6(х 1)

3(х 2)

xdx

Тогда:

(x2 1)(x 2)

х 1

х 2

ln|x 1|

ln|x 2| с

2. Вычислить интеграл

2х4 2х2 1

dx .

х(x2 1)2

Заметим, что подынтегральная дробь неправильная, тогда предварительно выделим целую часть ее и затем интегрируем многочлен и правильную дробь.

x6 2х4 2х2 1

х2 1

х(x2

1)2

х(х2

1)2

Поэтому ,

2х4 2х2 1

dx = xdx

2хdx

хdx

х(x2 1)2

(х2 1)2

х2 1

х2

ln|x|

ln(x2

1) c .

x2 1

3. Вычислить интеграл

dх

х4

Так как х4+1=(х2+ 2 х+1)(х2- 2 х+1), то

Ах В

Cx D

. Находим A, B, C и D:

х4 1

х2

2x 1

A C 0,

B 2A D 2C 0,

A 2B 2D C 0,

B D 1.

Откуда A	1	; B		1	;C			1			; D				1		.


2	2		2			2	2							2
						1			х				1						1		х			1


Остается вычислить интегралы						2	2		2							dx и		2 2		2						dx.
Остается вычислить интегралы						х2						х				dx и		х2					х			dx.
						х2				2		х		1				х2				2	х		1
Лекция 21			ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
			И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ

§1. Интегрирование иррациональностей.

1. Интегрирование дробно линейных иррациональностей.

F(x,

ax b

)dx, где a, b, c, d R, n N, а функция F является рациональной относительно х и корня.

cx d

Покажем, что при ad-cb0 функция F

приводится к рациональной относительно t, если положить t= n

ax b

cx d

ax b

d t n b

(ad bc)n t n 1

dt ,

Действительно: t

cx d

, x=

a c t n

dx=

(a ct n )2

d t n

(ad bc)n t n 1

тогда

F(x, n

ax b

)dx= F(

, t)

dt .

c t n

ct n )2

Поэтому имеем интеграл от рациональной функции переменного t.

Примеры.

1 x

, t2

1 x

t2dt

1 x dx

2 dt

1 x 1 x

4tdt

,dx

(t2 1)2

=2t-2arctg t+c== 2

1 x

2arctg

1 x

+c.

1 x

x 1

Далее нужно сделать замену

х 1

=t,

3 (x 1)(x 1)2

x 1

х 1

тогда

х 1

t3; x

; dx

6t2

dt, x 1

2t3

;

x 1

(t3 1)2

x 1

t3 1

2t3

Mt N

dt .

x 1

= 3

Adt

x 1 x 1

t3 1

t 1

t2 t 1

2. Интегрирование биномиальных дифференциалов.

Биномиальным дифференциалом называется выражение хm(a+bxn)pdx, где a, bR; m, n, p - рациональны.

Биномиальный дифференциал допускает рационализацию в трех случаях: 1) р - целое.

В этом случае замена x=t приводит подынтегральное выражение к рациональному относительно t, где - наименьшее общее кратное

знаменателей m и n.

m 1

2) р - не целое; - целое.

В этом случае замена a+bxn=t рационализирует подынтегральное выражение относительно переменной t; где знаменатель дроби р.

3) р - не целое;												m 1							m 1
																- не целое;							+р - целое.
													n			- не целое;				n			+р - целое.
													n							n
В этом случае рационализация подынтегрального выражения происходит с помощью замены																																a bxn	t	,
																																xn	t	,
																																xn
где знаменатель дроби р.
																					Примеры.
1. 3						(2							)2 dx . Здесь: m=1/3,
1. 3					х	(2					х		)2 dx . Здесь: m=1/3,								n=1/2, p=2					(первый случай).
Тогда проводим замену переменной х=t6, причем 3
Тогда проводим замену переменной х=t6, причем 3																										х	=t2, х =t3,		dx=6t5dt.
3
3	х		(2+					х )2dx= t2(2+t3)26t5dt=6 t7(t6+4t3+4)dt=6 (t13+4t10+4t7)dt=
				14						11					8					14					11
= 6		t					4		t				4	t			c 3	t				24		t		3t8 c		3	x7 / 3	24	x11 / 6 3x 4 / 3 c
= 6							4						4				c 3					24				3t8 c			x7 / 3		x11 / 6 3x 4 / 3 c
							11						8							7		11				7			11
	14						11						8							7		11				7			11

2. x5(1-x2)-1/2dx.

Здесь m=5, n=2, p=-1/2;

m 1

5 1

- целое (второй случай).

tdt

Тогда при замене 1-х2=t2

1 t2

,dx

имеем х=

1 t2

x5(1-x2)-1/2dx=-(1-t2)2dt=-dt+2 t2dt-t4dt=-t+2/

t3-

+c=

=- 1 х2 23 (1 х2 )3 15 (1 х2 )5 с

. В данном случае:

m=-2; n=2, p=-1/2, так что

m 1

1 x2

Сделаем замену

1 х2

=t2, тогда х=

,dx

tdt

х2

+р=-1 - целое (третий случай).

dx	dt t c	1 x2		c .
			x2
x2 1 x2

3. Интегрирование квадратных иррациональностей подстановками Эйлера.

Вычисление интеграла R(x, ax2 bx c )dx, где R функция рациональная относительно переменного х и корня, можно провести с помощью трех подстановок Эйлера.

1) Если a>0, b2-4ac<0, то подстановка

ax2 bx c =t-x

а рационализирует подынтегральное

выражение.

2) Если c>0, b2-4ac<0, то подстановка

ax2 bx c =хt+

с рационализирует подынтегральное

выражение.

3) Если b2-4ac>0, то подстановка

ax2 bx c =t(x-x1), где х1 - корень трехчлена ax2+bx+c,

рационализирует подынтегральное выражение.

Примеры.

. Здесь a=1>0, поэтому имеем первый случай. Сделаем замену переменных

x2 x 1

dx 2

t2 t 1

dt :

х2 х 1 =t-x, тогда х=

2t 1

2t 1 2

t2 t 1

t(2t 1)

dt =

x2 x 1

2t 1

(2t 1)2

Здесь А=2, В=-3, С=-3. Значит продолжим равенство

=2ln|t|-3/

ln|2t+1|+3/

+c=2ln|

х2 х 1 +x|-3/2ln|1+2x+2

х2

х 1 |+

2 2t

+c.

2(1 2х 2 х2 х 1)

. Здесь c=1>0, тогда сделаем замену переменных

х2 х 1 =tx-1, тогда

x2 x 1

2t 1

t 1

х=

dx 2

dt, x

x 1

. Окончательно имеем

t 1

x2 x 1

2t 2

dt c1 .

1)(t

1)2

(t 1)2

t 1

t(t

Где А=2, В=-1/2; С=-3; D=-3/2. Дальнейшее очевидно.

3.	xdx
	(7x 10 x2 )3 . В данном случае a<0, b<0, но квадратный трехчлен имеет действительные корни

х1=2; х2=5, т.е. 7x 10 x 2 (x 2)(5 x) . Сделаем третью замену Эйлера:

7х 1 х2 (х 2)(5 х) =(х-2)t.

Отсюда 5-х=(x-2)t2; x=

5 2t

;dx

6tdt

,(x 2)t

. Наконец

(1 t2 )2

1 t2

7x 10 x2

имеем:

2 dt

c , где

x 2

§2.Интегрирование тригонометрических выражений.

1)Вычисление интеграла R(sin x, cos x)dx.

Если подынтегральная функция рациональна относительно sin x и cos x, то интегрирование можно провести несколькими заменами переменной.

А именно:

а). Универсальная подстановка tg(x/2)=t

б). Если R(-sin x, cos x) -R(sin x, cos x), то заменой вида cos x=t. в). Если R(sin x, -cos x) -R(sin x, cos x), то заменой вида sin x=t. г). Если R(-sin x, -cos x) R(sin x, cos x), то заменой вида tg x=t.

2) Вычисление интеграла sinmx cosnxdx, m, n N.

а). если m - нечетно, то интеграл приводим к виду m 1

m-1

d(-cos x).

sin

x cos xd(-cos x)= cos

x(1-cos x)

б). Если n - нечетно, то интеграл приводим к виду

n 1

sinmx cosn-1x d sin x= sinmx(1-sin2x)

d sin x.

в). Если m и n оба числа четные, то необходимо понизить степень

тригонометрических функций. После этого получим

1 cos2x

sin x cos x d sin x=

dx . Затем применить,

возможно, случаи а) или б).

г). Отметим, что замена sin x=t (или cos x=t) приводит интеграл sinmx cosnxdx,

где m, n Q, к биноминальному дифференциалу. Например, при sin x=t n 1

J= tm(1-t2) 2 dt.

				Примеры.
1.	sin5 x	dx	sin4 xd( cosx)		(1 cos2 x)2 d cosx	.
	cos4 x		cos4 x		cos4 x

Далее сделать замену cos x=t.

sin4 x cos2 x

Замена tg x=t:

(1 t2 )2

dt .

sin4 x cos2 x

cosxdx

d sin x

. Далее сделать замену sin x=t.

cos5 x

cos6 x

(1 sin2 x)3

1 cos 2x 1 cos 2x 2

4. sin2xcos4x dx=

dx . Далее сделать замену cos2x=t.

sin xcosx

dx .

sin4 x

cos4 x

Так как R(sin x, cos x)=R(-sin x,-cos x), то сделаем замену tg x=t, после чего

получим

sin xcosx

tdt

d(t2 )

arctg(t2 ) c

arctg(tg2x) c

sin4 x cos4 x

t4 1

(t2 )2 1

sin x

dx .

sin2 x 1

Так как подынтегральная функция меняет знак при смене знака sin x, то

сделаем замену cos x=t

sin x

c , где t=cos x.

sin2 x 1

1 t2

7. sin4x cos6x dx.

Так как показатели степени четные, то понижаем степень

sin x и cos x.

sin4x cos6x dx=

(2sinx cosx)4cos2x dx=

sin42x(1+cos2x)dx=

sin42x dx+

sin42x cos2x dx. Для первого интеграла снова можно

применить понижение степени, а второй интеграл вычисляем с помощью

замены sin2x=t.

8. tg7x dx.

Положим tg x=t, тогда x=arctg t, dx=

. Значит

1 t2

tg7x dx= t7

= (t5-t3+t-

)dt=

ln(1 t2 ) c =

1 t2

2 2

tg6x

tg2x

ln | cos2 x | c .

sinx

dx .

1 sinx

Так как

sinx

sin x(1 sin x)

1 sinx

(1 sin x)(1 sin x)

cos2 x

sin x

sin2 x

sin x

tg2 x . Тогда

sinx

dx =

1 sinx

cos2 x

sin x

dx tg2xdx

sin x

sec2 xdx dx

cos2 x

10.

x 2

4 x2

8 (x 2)2

x 2

a x

c .

a 2 x 2

a x

1 ln x

3 x ln x t,

11.

ln|t| c .

3 x ln x

(1 ln x)dx dt

1	tgx x c .
cosx

c . Так как

ln x u,

u',

x4 ln x

12. x3ln x dx=

x4 ln x

x3dx

x3 v',

ln x

c .

e5x

u' 5e5x ,

sin 4x e5x

e5x sin 4xdx

13. e5xcos4x dx=

cos4xdx dv,

sin 4x

sin4x e

cos4x

cos4xdx

sin 4x e5x

e5x cos4x

e5xcos4xdx

sin4x

e5x

e5x cos4x

c .

14.

= (Замена

x 2

t )

x 1

(x 1)

(x 2)(x 1)4

x 2

x 1

c .

Лекция 22 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Задачи, приводящие к вычислению интеграла Римана.

Рассмотрим задачу об определении площади криволинейной трапеции ABCD.

Разделим	основание [a, b] на
части точками xi, i=0,	1, 2, ..., n, выбранными
произвольным	образом и далее все
криволинейные	трапеции (полосы)
заменим на	прямоугольники с

высотами равными значению функции f(x) в какой либо точке отрезка, на который опирается прямоугольник. Например, можно взять значение функции f(x) на левом конце отрезка [xk-1, xk] за высоту прямоугольника; здесь k [1; n].

Точка разбиения удовлетворяет условию а=х0<x1<x2<...<xn-1<xn=b. Таким образом, с некоторой степенью точности можно определить площадь криволинейной трапеции как площадь ступенчатого тела, составленного из построенных прямоугольников:

Sтрап=Sn= f ( k )(x k x k 1) k 1

Погрешность вычисления площади трапеции будет убывать, если n и max(xk-xk-1) 0.

Таким образом, если определить Sтрап , как предел площади ступенчатого тела Sn при n , то

def
необходимо вычислить предел lim Sn	Sт рап , если он существует, при произвольном выборе	k [xk-1,
n

xk],

k=1, 2, ..., n. То есть мы приходим к вычислению суммы с бесконечным числом слагаемых.

2. Некоторые определения.

Определение. Будем говорить, что задано разбиение отрезка [a, b], если заданы точки хк [a, b], такие, что а=х0<x1<...<xn=b. Данное разбиение обозначается символом Т[a, b].

Определение. Разбиение Т [a, b] называется продолжением разбиения Т[a, b] (или измельчением этого разбиения), если каждая точка хк Т[a, b], совпадает с одной из точек хе Т [a, b].

Точки хк обычно называют узлами разбиения Т[a, b], а отрезки [хк-1, хк] элементарными отрезками [a,

b].

Определение. Максимальная длина элементарного отрезка называется диаметром разбиения, т.е.

d= max	xk xk 1	max xk .
d= max	xk xk 1	max xk .
1 k n		1 k n

Определение. Разбиение Т[a, b] называется объединением разбиений Т [a, b] и Т [a, b] если все узлы разбиений Т и Т и только они являются узлами разбиения Т[a, b] (Т=Т Т ).

Очевидно, что объединение двух разбиений является измельчением каждого из них. Например.

3. Определение интеграла Римана.

Рассмотрим на отрезке [a, b] функцию f(x) , принимающую в каждой точке этого отрезка конечное значение, т.е f(x) - ограничена.

Затем: 1) Построим разбиение Т[a, b].

2) По данному разбиению составим сумму всех произведений вида f( k)(xk-xk-1), где k

		n
произвольная точка элементарного отрезка [xk-1, xk], т.е.	n(T, k)=	f ( k ) xk.
		k 1
3) Заметим, что n(T, k) зависит от разбиения Т, выбора	k и называется интегральной
суммой для функции f(x)
на отрезке [a, b].

Определение. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на промежутке [a, b], если существует

конечный предел lim n (T, k ) J	независящий от разбиения Т и выбора точек к из [xk-xk-1], k=1,
n
(d 0)
2, ..., n.

В этом случае число J называется определенным интегралом или интегралом Римана функции f(x) на промежутке [a, b] и обозначается символом

f (x)dx J

Читается: «Интеграл от а до b функции f(x)dx.» Здесь: f(x)dx - подынтегральное выражение;

f(x) - подынтегральная функция;

«а» - нижний предел интегрирования; «b» - верхний предел интегрирования.

Геометрический смысл интеграла Римана.

b
Интеграл f (x)dx J численно равен площади криволинейной трапеции АВСD, если f(x) 0, при х[a, b],
a
y=f(x), y=0, x=a, x=b.
Пример. f(x)=с; х[a, b].
n
= f ( k ) xk=f(k)( x1+x2+...+xn)=c(b-a).
1
1,	х рац,
Пример. Функция Дирихле у(х)=	х иррац.	.
0,	х иррац.

Ограниченная функция Дирихле не является интегрируемой по Риману, т.к. nk=

рационально;			и
	n
	= f ( ) x =0(b-a), если			- иррационально.
	nk 1	k	k	k
То есть не существует предела				lim n (T, k ) .
			n

f ( k ) xk=1(b-a), если k-

Пример. Вычислить у(x)dx , если у=х+1.

Решение. Возьмем хк - все одинаковые, т.е. хк=3/n, x [0, 3]; k - выберем на правом конце [xk-1, xk]. Тогда,

		3			3				3			3		3		3		3	5n 3
	=		1			1				2	... 1		n		n		1 2 ... n			;
	=		1			1				2	... 1		n		n		1 2 ... n			;
n
		n			n				n			n		n		n		n	2
		n			n				n			n		n		n		n	2
J lim				n			15	.
J lim				n			2	.
		n					2

4. Необходимые условия интегрирования функции по Риману.

Лемма. Интегрируемая по Риману функция необходимо ограничена.

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.1 Mб126Лекции-История и методология языкознания.doc
#
03.05.2015366.08 Кб155Лекции-ст.doc
#
13.08.201973.73 Кб8Лекции.doc
#
09.11.20184.19 Mб47лекции.doc
#
27.03.2015223.47 Кб36Лекции.docx
#
27.03.20154.74 Mб73ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев.pdf
#
27.03.2015274.94 Кб7Лекции_по_ИЭ_2.doc
#
11.03.20162.17 Mб28Лекции_тервер.pdf
#
27.03.20153.81 Mб123ЛекцииМО.doc
#
27.03.2015473.6 Кб10Лекционный курс для подготовки (студентам).doc
#
27.03.2015222.15 Кб17Лекция 02 Кинематика криволинейного движения..pdf