ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

(в нашем случае берем отрезок [a1,b], b=b1). Следует отметить, что при таком выборе всегда будет f(a1)<0, f(b1)>0. Процесс деления и выбора отрезка продолжим дальше. При этом получим, что на некотором шаге

значение f(x) в срединной точке будет равно нулю, если же это не так, то получим последовательность левых

lim an =С1, последовательность bn монотонно не возрастает и ограничена снизу, а значит имеет место предел

n

lim bn =С2.

n

Очевидно, что С1=С2=С, т.к. lim bn an =0.

n

Тогда в силу непрерывности функции f(x) имеем: lim f(an)=f(C) 0,

n

lim f(bn)=f(C) 0, т.е. f(C)=0

n

Замечание. Данная теорема формулирует достаточные условия существования точки , в которой непрерывная функция меняет знак, хотя из теоремы не следует конкретного указания этой точки.

Точек, в которых функция меняет знак может быть больше чем одна.

Теорема 2. (2ая теорема Больцано-Коши).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a)= и f(b)= и любое число из промежутка [, ].

Тогда найдется на [a, b] хотя бы одна точка С в которой f(С)=.

Доказательство. Предположим, что < и тогда . Для = или = теорема очевидна. Для случая< < рассмотрим функцию (х)=f(x)- ,

x [a, b], которая удовлетворяет всем условиям 1 ой теоремы Больцано - Коши. Следовательно, существует точка С(а, b) токая, что (C)=0 или f(C)= .

Замечание. Данная теорема не конкретизирует точку С, т.е. формулирует достаточные условия существования такой точки. Точек типа С возможно не одна.

Теорема. (1ая теорема Вейерштрасса).

Если функция f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a, b], то она ограничена на этом промежутке, т.е. существуют такие числа m и М, что m f(x) M, при всех x [a, b].

Доказательство. Проведем от противного: пусть f(x) неограничена на [a,b]. Значит для любой

Значит f(x) на [a, b] ограничена.

Замечание. Другими словами: график непрерывной на [a, b] функции находится в некотором прямоугольнике плоскости Оху

Теорема. (2ая теорема Вейерштрасса).

Если функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом промежутке [a, b], то она достигает на этом промежутке своих точных верхней и нижней граней, т.е. на [a, b] существуют точки х0 и х1 такие, что f(x0) f(x) и f(x1) f(x) для любых х[a, b], причем равенство обязательно достигается.

Доказательство. Проведем доказательство от противного и для точной верхней грани М=sup f(x).

Отметим, что М - конечное число, что следует из 1ой теоремы Вейерштрасса. Предположим, что значение f(x) не достигает М, то есть f(x)<M.

1

Тогда рассмотрим функцию (х)= M f (x) . Так как M f(x), то (х) - непрерывна на [a, b] , а значит ограничена на этом промежутке, т.е.

Но этого быть не может, т.к. М - точная верхняя грань. Значит наше предположение не верно, т.е. существует x0 [a, b], что f(x0)=M.

Замечания. 1. Значения f(x0) и f(x1) обычно называются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции f(x) на промежутке [a, b].

2.Непрерывность функции является существенным условием, т.к. если [a, b] - замкнутый отрезок, а f(x) разрывная, то точные грани функцией возможно не достигаются (рис. а).

3. Замкнутость отрезка является существенным условием, т.к. если (a, b) - не замкнут, а f(x) - непрерывна, то точные грани

функцией возможно не достигаются (рис. б).

3. Непрерывность параметрически заданной функции.

Довольно распространен параметрический способ задания функции. При таком способе задания дается закон изменения переменных х и у в зависимости одного и того же переменного t называемого параметром.

Например.

Замечание. Циклоида представляет собой след точки М при качении окружности единичного радиуса без скольжения по оси Ох.

x 1 t,

2. 2

y 1 t

Это геометрическое место точек (х, у) на плоскости представляет собой параболу y=1-(1-x)2.

x (t),

Схематически, функция y=f(x) заданная параметрически представляет собой отображение

y (t);

множества Х на множество Y, которое можно интерпретировать абстрактно так:

Х={x|x [a, b]}

t [ , ]

Y={y| [c, d]}

Обычно функция y=f(x) задается системой равенств

x (t),

где

y (t);

t [ , ]. При этом областью определения функции у=f(x) является область изменения функции (t), т.е.

{x} { (t)}.

Если функция x= (t) допускает обратную т.е. t=-1(x), то функция у=f(x) задается в виде y=f(x)(-

1(x)).

Таким образом, непрерывность функции y=f(x), заданной неявно, будет иметь место если непрерывна суперпозиция функций (t) и t=-1(x).

означает непрерывность y=cos x, если хR.

2. Исследовать непрерывность функции у=ах в области определения.

Решение. Функция у(х) непрерывна в точке х0, если приращение ее в точке х0 у=у(х0+ х)-у(х0) стремится к нулю при х 0. Для доказательства этого составим приращение функции у=ах в точке х=х0:

знаменателем отличным от нуля.

Далее рассмотрим точку х0=0, где у(0)=1. Вычислим односторонние пределы функции при х0.

в точке х=0. Таким образом функция у(х) непрерывна в любой точке хR.

4. Определить точки разрыва функции y=arctg 1/x, y(0)= /2.

В силу этого предел у(х) в точке х=0 не существует и она терпит в точке х=0 разрыв первого рода типа «скачок».

Если стержень является неоднородным, то очевидной характеристикой стержня является плотность его в данной точке, которая определяется как отношение массы стержня к его длине. Находим среднюю плотность стержня на промежутке [x, x+ x]

Тогда плотность стержня в точке х выразится пределом

в. Задача о касательной к кривой.

Пусть уравнение y=f(x) задает в плоскости Оху, некоторую кривую l . Для данной кривой ставится задача : определить наклон касательной к этой кривой, проведенной в точке (x, f(x)), т.е. определить тангенс угла между касательной и положительным направлением оси Ох.

При этом касательной к кривой l в точке (x, f(x)) называется предельное положение секущей, проходящей

кривой в точке (x, f(x)), который она составляет с положительным направлением оси Ох.

Из приведенных примеров следует, что многие практические задачи физики, геометрии и техники сводятся к вычислению предела частного, в числителе которого стоит приращение функции, а в знаменателе приращение аргумента, вызвавшее это приращение.

2. Производная функции в точке.

Определение. Производной функции y=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции (у) в этой точке к соответствующему приращению аргумента ( х) при стремлении последнего к нулю, то есть

а. Геометрический смысл производной.

Тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке (x, f(x)) к кривой l: y=f(x), который она составляет с положительным направлением оси Ох, численно равен производной функции y=f(x) в точке х, то есть tg =y'(x).

б. Физический смысл производной.

Производная функции f(x) в точке х численно равна скорости изменения функции f(x) в точке х. Пример. Вычислить по определению производную функции у=х2+1 в точке х=1.

Решение. f=((1+ x)2+1)-(1+1)=2 x+ x2.

3. Уравнение касательной к кривой.

Теорема 1. Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке (х0, f(x0)) имеет вид y-y0=f '(x0)(x-x0). Доказательство. Известно, что уравнение прямой имеет вид y=kx+b. Но так как эта прямая является

касательной к кривой l: y=f(x) в точке (x0, f(x0)) , то ее угловой коэффициент k должен быть равен f '(x0) . Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку (x0, f(x0)). Значит b=f(x0)-k x0. Откуда получаем