Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

4.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2615 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

2. Свойства неопределенного интеграла.

1. d f(x)dx=f(x)dx.

Действительно. d f(x)dx=d(F(x)+c)=f(x)dx.

2. dF(x)=F(x)+c.

Действительно. Так как dF(x)=F (x)dx=f(x)dx, то по определению интеграла имеем dF= f(x)dx=F(x)+c.

3. (f(x) q(x))dx= f(x)dx q(x)dx.

Доказательство.

Если F (x)=f(x) и G (x)=g(x), то: (f(x) g(x))dx=(F(x) G(x))+C1, а f(x)dx g(x)dx=(F(x)+c2) (G(x)+c3).

Поэтому данное равенство имеет место с точностью до постоянной величины.

Аf(x)dx=A f(x)dx, А- постоянная.

Доказательство. Af(x)dx=AF(x)+c1, A f(x)dx=A(F(x)+c2)=AF(x)+Ac2.

Это равенство также выполняется с точностью до постоянной величины.

3. Таблица неопределенных интегралов.

0 dx=c;

arcsin x c

1 dx=x+c;

11.

;

arccosx c

х 1

1 x

x dx=

с ( -1);

arctgx c

12.

;

1 x2

arcctgx c

=ln |x|+c;

13.

x2 1

c ;

a x

x2 1

axdx=

c ;

1 x

ln a

14.

c ;

exdx=ex+c;

1 x2

1 x

sin x dx=-cos x+c;

15.

sh x dx=ch x+c;

cos x dx=sin x+c

16.

ch x dx=sh x+c;

=tg x+c;

17.

cos2 x

=th x+c;

ch2x

10.

=-ctg x+с;

18.

sin

2 x

=-cth x+c.

sh2x

Примеры «не берущихся» интегралов.

e-x2dx - интеграл Пуассона;

cos x2dx,

sin x2dx - интегралы Френеля;

ln x (0<x, x 1) - интегральный логарифм;

cosx dx (x 0) - интегральный косинус;

sin x

dx (х 0) - интегральный синус.

Примеры.

(6x2-3x+5)dx= 6x2dx3xdx+ 5dx=2x3-3/ x2+5x+c.

x х

dx= x7/6dx- x1/6dx=6/ x13/6-6/

x7/6+c.

3 x

=ln|x-1|+c.

x 1

	4.		dx

			x2 a2
			x2 a2

		dx

		x			2
		x			2
		1
		1
		a

arctg

x 2

4. Методы интегрирования.

А. Интегрирование методом замены переменного.

Теорема.

Если функция g(t) имеет первообразную G(t) т.е. g(t)dt=G(t)+c, а функция t= (x) определена

и дифференцируема на некотором множестве {x}, то на этом множестве имеет место:

g( (x)) (x)dx=G( (x))+c.

Доказательство.

Достаточно доказать, что функция G( (x))

является первообразной функции

g( (x)) (x).

Это действительно так

(G( (x))) =G x=g( (x)) x(x).

Что и требовалось доказать.

Замечание. Метод интегрирования основанный на этой теореме называется методом замены переменной

или метод подстановки.

Примеры.

3x t

1. sin3xdx=

= sin t

=1/3 sin t dt=-1/3 cos t+c=-1/3 cos3x+c.

cos x t

2. ecos xsin x dx=

=- etdt=-et+c=-ecos x+c.

sin xdx dt

(arctgx)10

arctgx t

t11

dx=

= t10dt=

+c=

(arctg x)11+c.

(1 x2 )

cosx dx

d sin x

sin x t

1 t

cosx

cos2 x

sin2 x

d sin x dt

1 t

=1 ln 1 sin x c .

2 1 sin x

x dx

ln|t 1| c

ln|x4

1| c .

x4 1

4x3dx dt

1 4

d(x / a)

x / a t

1 (x / a)2

1 t2

a2 x2

d(x / a)

= arcsin t c arcsin(x / a) c .

1 dx

x2 a2

2a x a

x a

ln|x a|

ln|x a| c =

х а

+c.

х а

cos2mxdx=

1 cos 2mx

cos 2mxdx

cos 2mxd (2mx )

sin 2mx c .

Б. Интегрирование по частям.

Теорема. Если функция u=f(x) и v=g(x) имеют непрерывные производные u =f '(x) и v =g (x) на множестве {x} , то на этом множестве имеет место равенство: u(x)dv(x)=u(x)v(x)- v(x)du(x).

Доказательство. Так как d(u(x)v(x))=du(x) v(x)+u(x) dv(x), тоd(u(x)v(x))= v(x)du(x)+ u(x)dv(x) или u(x)v(x)= v(x)du(x)+ u(x)dv(x),u(x)dv(x)=u(x)v(x)- v(x)du(x).

Последнее равенство можно записать в виде:

u(x)v (x)dx=u(x)v(x)- v(x)u (x)dx.

Замечание. Метод интегрирования основанный на этой теореме называется методом интегрирования по

частям.

Примеры.

u ln x

х2

1. x lnx dx=

ln x

xdx =

v' x

х2

ln x-1/2

+c=

(ln x-1/2)+c.

u arctgx

2. x arctg x dx=

arctg x-

dx=

2(1

)

v' x

х2

arctg x-1/2

x2dx

х2

arctg x-1/2

(1 x2 ) 1

dx =

x2 1

х2

arctg x-1/2 1

dx =

arctg x-1/2 x+1/2 arctg x+c=

х2 1

=		arctg x-1/2 x+c.
=	2	arctg x-1/2 x+c.
	2
3.		u x2	u' 2х
3.	x2cos x dx=			=x2sin x-2x sinx dx=
		v' cosx	v sin x

далее повторно применим интегрирование по частям

u x

u' 1

=x2sin x-2 x sinx dx=

=x2sin x-2{-x c0s x-(-cosx)dx}=

sin x

v cosx

=x2sin x+2x cos x-2 cos x dx=x2sin x+2x cos x-2 sin x+c=(x2-2)sin x+2x cos x+c.

xdx

u x

u' 1

sin xdx

=x tg x- d(cos x) =

=x tgx-tgx dx=x tg x-

cos x

v tgx

cos x

=x tgx+ln|cos x|+c.

u x2 + 1

u' 2х

=(x2+1)ex-2x exdx=

5. (x2+1)exdx=

v е

v' е

применим интегрирование по частям еще раз

u x	u' 1
=(x2+1)ex-2 xexdx=		=(x2+1)ex-2[x ex-exdx]=
v' еx	v еx

=(x2+1)ex-2x ex+2ex+c=ex(x2-2x+3)+с.

Замечание. Большая часть интегралов, вычисления которых проводится по частям, может быть разбита на две группы.

1. К первой группе относятся интегралы, подынтегральная функция которых содержит в качестве множителя одну из функций ln x, arcsin x, arccos x, arctg x и их степени. В этом случае такую функцию следует принять за функцию u(x).

2. Ко второй группе относятся интегралы вида (ax+b)ncos(cx)dx, (ax+b)nsin(cx)dx, (ax+b)necxdx, где a, b, c R, n N. Интегралы этой группы вычисляются путем n-кратного применения интегрирования по частям,

причем в качестве u(x) каждый раз следует брать функцию (ax+b)l, l n.

Лекция 20 ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ.

1. Разложение рациональной дроби.

Определение. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов.

Определение. Рациональная дробь	Pn (x)	называется правильной, если степень многочлена Pn(x)
	Qm (x)

меньше степени многочлена Qm(x), т.е. n<m.
Определение. Рациональная дробь	Pn (x)	называется неправильной, если степень многочлена Pn(x)
	Qm (x)

не меньше степени многочлена Qm(x), т.е. n m.

			Pn (x)
Известно, что любую неправильную дробь				можно представить в виде суммы многочлена
			Qm (x)
	(x)
степени n-m и правильной дроби		. Для этого достаточно выделить целую часть этой дроби. Таким
	Qm (x)

образом, интегрирование неправильной дроби в конце концов сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби. Следовательно, всегда интегрирование рациональной дроби сводится к интегрированию правильной рациональной дроби и многочлена.

2. Разложение правильной дроби.


Лемма 1.		Если		Pn (x)			правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами и
Лемма 1.		Если
				Qm (x)
знаменатель Q(x)		имеет действительное число а корнем кратности k, т.е. Q(x)=(x-a)k(x), где							(а) 0, то
справедливо следующее равенство:
	Pn (x)			А			(х)
	Qm (x)	=	(х а)к		+	(х а)к 1 (х)		,

где АR, причем А=	Pn (a)	, кN, (х) - некоторый многочлен, а дробь	(х)	правильная.
	(a)		(х а)к 1 (х)

Доказательство. Заметим, что число а не является корнем многочленов Рn(х) и (х). т.е Рn(а) 0 и(а) 0. Найдем число А такое, чтобы многочлен

Рn(х)-А (х) имел корень х=а, т.е. чтобы имело место равенство

Р(х)-А(х) (х-а) (х). В этом случае должно быть Р(а)-А(а)=0. Из этого равенства действительно можно найти А,

так как (а) 0: А=

Р(а)

(а)

Разделим тождество Р(х)-А(х) (х-а) (х) на (x-a)k (x) Q(x). После этого

P(x)

(х)

получим

Лемма доказана.

Q(x)

(х а)к

(х а)к 1 (х)

К последней правильной дроби можно снова применить эту лемму. После к - кратного применения будем

иметь разложение:

P(x)

(x)

...

(x) .

Q(x)

(x a)k

(x a)k 1

(x a)

Лемма 2. Если

P(x)

правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами и

Q(x)

знаменателем Q(x)

этой дроби имеет корни а=u+iv и

а =u-iv кратности к, т.е. Q(x)=(x2+px+q)k (x), где

(a) 0,

( а ) 0, p=-2u, q=u2+v2,

то справедливо следующее

равенство:

P(x)

Mх N

(х)

Q(x)

(x2 px q)k

(x2

px q)k 1 (х)

где M, N R, k N, (x) - некоторый многочлен, а дробь

(х)

правильная.

(x2

px q)k 1 (х)

Лемма 3.

Если

P(x)

правильная рациональная дробь с действительными коэффициентами, причем

Q(x)

Q(x)=(x-x1) 1...(x-x ) r(x2+p1x+q1) 1...(x2+p x+q ) s, где

x - различные действительные корни Q(x) кратности

i=1, 2, ..., r, x2+pjx+qj - различные квадратные трехчлены, не имеющие вещественных корней

(pj2-4qj<0), j=1, 2, .., s,

то существуют Ai( ),

=1, 2, ..., ,

Mj( )

и Nj( ) из

R =1, 2, ...

. такие, что:

P(x)

А1(1)

А1( 1)

А(1)r

А(r r )

M1(1)x N1(1)

...

Q(x)

(x x

) 1

(x x1)

(x x

) r

x x r

(x 2 p

x q ) 1

M1( 1) x N1( 1)

Ms(1) x Ns(1)

Ms( s ) x Ns( s )

+...+

...

x2 p x q

(x2

x2 p

x q

) s

x q

Из экономии нашего времени примем две последние леммы без доказательства.

Сформулированные леммы гарантируют нам разложение правильной рациональной дроби на сумму, так называемых, простейших:

Mх N

Mx N

, здесь p2-4q<0.

х х1

(х х )к

x2 px q (x2 px q)k

Примеры.

1. Разложить дробь

2х3 4х2 х 2

на сумму простейших.

(х 1)2 (х2

х 1)

Решение. Очевидно трехчлен х2+х+1

не имеет действительных корней. Тогда имеет место:

2х3 4х2 х 2

А1

А2

Mx N

, где А1, А2, M, N - некоторые неизвестные

(х 1)2 (х2

х 1)

(х 1)2

(х 1)

x 1

постоянные.

Приводя равенство к общему (одинаковому) знаменателю и сравнивая числители, получим: 2х3+4х2+х+2 А1(х2+х+1)+А2(х-1)(х2+х+1)+(Mx+N)(х-1)2.

Вспоминая, что два полинома тождественно равны между собой только лишь при условии равенства коэффициентов при одинаковых степенях переменного х в левой и правой частях равенства. Отсюда получим для определения неизвестных А1, А2, M и N систему уравнений:

A2	M 2;
	N 2M	4;
A1	N 2M	4;	Решением этой системы будут: А2=2, А1=3, M=0, N=1. Тогда имеем разложение
	M 2N	1;
A1	M 2N	1;

A2 A1 N 2.
исходной дроби:

2х3 4х2 х 2

(х 1)2 (х2 х 1)

х 1

(х 1)2

х2 х 1

2. Разложить дробь

3х4 2х3 3х2 1

на сумму простейших.

(х 2)(х2

1)2

Решение. Имеем разложение с неизвестными коэффициентами

3х4 2х3 3х2 1

x N

. Последнее равенство приводим к общему

(х 2)(х2 1)2

x2 1

(x2 1)2

х 2

знаменателю и сравниваем числители ( они тождественно равны).

3х4+2х3+3х2-1 B(х4+2х2+1)+(М1х+N1)(х3-2х2+х-

2)+(M2x+N2)(x-2).

Откуда В, M1, M2, N1, N2 удовлетворяют системе:

Ах B

B M1 3;
N	1	2M		1	2;

				2N1				M 2	3; с решением В=3, М1=0, N1=2, m2=1, N2=0. Следовательно
2B M1
N	1	2M		1	N		2	2M	2	0;

B 2N			1	2N		2		1 0.

3х4 2х3 3х2 1 3

(х 2)(х2 1)2

х 2

x2 1

(x2

1)2

4. Интегрирование простейших дробей.

d(x b)

=В

=B ln|x-b|+c.

x b

dx =B

d(x b)

c .

(x b) k

k 1

(x b)k 1

Ах B

dx , p2-4q<0.

x2 px

Выделим в знаменателе полный квадрат и сделаем соответствующую замену переменной. После этого получим:

u x p / 2,

А(х p / 2) B

du dx,

Ах B

dx =

du =

u2 2

x2 px q

(x p / 2)2 q

q p

/ 4.

=А

udu

=А

ln|u2+ 2|+

arctg(u/ )+c=

u2 2

p 2

х р 2

arctg

+c.

4. x2 px q n dx , p2-4q<0.

Приведем в подынтегральной функции аналогичные преобразования. Тогда будем иметь:

А(х p / 2) B

Ах B

dx =

px q

p2 n

(x p / 2)


	Au B				Ap
dx								du =
						2
		2		p		2	n

			q


	u			4

du2

Ар

+(B-

)

(u2+ 2)1-n+(B-

)

2 n

2(n 1)

2 n

Для вычисления последнего интеграла

применим метод интегрирования по частям.

2 n

2nu

Jn=

u2 2

u2 a 2 n 1 =

g u.

g 1;

u2 2

+2n

u2 2 n 1 du =

2 n 1

2 n

+2n

u 2

u 2 2

то есть J =

+2nJ -2n2J

откуда

n+1

2 n

+1=

2n 1

2n 2 u2 2 n

2n 2

Эта формула позволяет вычислить интеграл Jn при любом n N, вычисляя последовательно J1, J2 и т.д.

Причем J1= u2 2 =1/ arctg(u/ )+c.

Замечание. Рациональная дробь интегрируется по следующей схеме:

1) Если дробь правильная, то ее представляют в виде суммы простейших и интегрируют сумму простейших дробей.

2) Если дробь не правильная, то предварительно выделяют целую часть этой дроби, т.е. представляют неправильную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби, а затем интегрируют многочлен и правильную дробь.

		5. Примеры.
1. Вычислить интеграл		xdx
			.
	(x2
		1)(x 2)

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 2615 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.1 Mб126Лекции-История и методология языкознания.doc
#
03.05.2015366.08 Кб155Лекции-ст.doc
#
13.08.201973.73 Кб8Лекции.doc
#
09.11.20184.19 Mб47лекции.doc
#
27.03.2015223.47 Кб36Лекции.docx
#
27.03.20154.74 Mб73ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев.pdf
#
27.03.2015274.94 Кб7Лекции_по_ИЭ_2.doc
#
11.03.20162.17 Mб28Лекции_тервер.pdf
#
27.03.20153.81 Mб123ЛекцииМО.doc
#
27.03.2015473.6 Кб10Лекционный курс для подготовки (студентам).doc
#
27.03.2015222.15 Кб17Лекция 02 Кинематика криволинейного движения..pdf