ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

2. Ограниченность.

Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если все ее члены по абсолютной величине не превосходят некоторого положительного числа М0, т.е. |xn| М0, n N. Если же такого числа М0 найти нельзя, то последовательность {xn} называется неограниченной. Это значит: для любого числа М0 найдется номер n0 такой, что |xn0|>M0.

Ограниченные последовательности: {(-1)n}, M0=1; {3sin n},M0=3. Неограниченные последовательности: {3n2+7n+1}; {nsin ( n/2)}.

Определение . Последовательность {xn} называется ограниченной сверху (снизу), если все ее члены не больше некоторого числа М0 (не меньше некоторого числа М0).

Например, последовательности xn=-n, M0=-1 и Zn=(1+1/n)n, M0=3 являются ограниченными сверху, а последовательности xn=n, M0=1 и Zn=n+sin n, M0=1 ограничены снизу.

Замечание . Если все члены последовательности равны между собой, т.е. xn=a, то последовательность называется постоянной.

3.Арифметические операции над последовательностями.

1.Суммой последовательностей {xn} и {Zn} называется последовательность {un}, где un=xn+Zn при n N.

2.Произведением последовательностей {xn} и {Zn} называется последовательность {un}, где un=xn·Zn при n N.

4. Предел бесконечной числовой последовательности.

Пример. Пусть задана бесконечная числовая последовательность

члены последовательности xn располагаются все ближе к числу 2. Более того можно показать, что при выборе произвольного числа >0, начиная с некоторого номера n члены последовательности хn будут расположены ближе чем единиц от точки 2, т.е. при всех n>n0 имеет место неравенство |xn-2|< .

Чтобы доказать вышесказанное, оценим разность xn-2:

которого оно выполняется, равен n*=[5/ ]+1. Здесь скобки означают целую часть числа.

Итак показано, что для любого числа >0 можно найти номер n0 такой, что при всех n>n0 выполняется неравенство |xn-2|< . В этом случае говорят, что число 2 является пределом бесконечной числовой

последовательности {xn} при n . Или что то же самое: последовательность {xn} сходится к числу 2 при n . Определение. Число А называется пределом бесконечной числовой последовательности {xn} при n ,

если для любого положительного числа >0 можно найти такое натуральное число n0( ), что для всех n>n0 будет иметь место неравенство |xn-A|< . Символически это записывается в виде

5. Геометрическая интерпретация.

Если число А является пределом бесконечной числовой последовательности {xn}, то это значит, что интервал (А- , А+ ) при любом >0 содержит все элементы последовательности {xn}, начиная с некоторого

номера n0+1. Соответственно вне этого интервала может быть не более конечного числа членов последовательности.

6. Свойства сходящихся последовательностей.

Определение. Последовательность имеющая предел называется сходящейся к своему пределу, а последовательность не имеющая предела называется расходящейся.

Теорема 1. Предел постоянной последовательности равен самой постоянной, т.е. если xn a, то

lim xn a .

n

Теорема 2. Предел сходящейся последовательности не изменится, если «добавить» или «отбросить» конечное число членов последовательности.

Теорема 3. Если последовательность xn имеет предел равный а, т.е. lim xn a , и a>0 (<0), то

n

начиная с некоторого номера все члены последовательности {xn} будут положительными (отрицательными).

Теорема 4. Предел сходящейся последовательности единствен.

Доказательство. Предположим противное. Пусть последовательность {xn} имеет два предела А и В,

причем А В, например A<B. Возьмем число >0 таким , чтобы имело место неравенство 2 < |B-A|, тогда окрестности (А- ,А+ ) и (В- ,В+ ) точек А и В не имеют общих точек.

Так как {xn} сходится к А, то вне окрестности (А- , А+ ) находится конечное число членов последовательности. Но это не так, в силу того что В предел последовательности {xn} в любой - окрестности

точки В находится бесконечное число членов этой последовательности.

Так как указанные окрестности не пересекаются получаем противоречие с предположением о том, что последовательность {xn} имеет два предела. Что и доказывает теорему.

Теорема 5. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть последовательность {xn} сходится к числу А. Тогда по выбранному числу 0>0, найдем n0 N такое, что при n>n0 имеет место неравенство |xn-A|< 0 или A- 0<xn<A+ 0. Значит вне 0 - окрестности точки А находится не более чем n0 членов последовательности {xn}. Среди этих n0 элементов найдем наименьший и наибольший:

Замечание. Теорема 5 необратима, т.е. не всякая ограниченная последовательность является сходящейся, Примером расходящейся ограниченной последовательности может быть {xn=(-1)n}.

Эта теорема в дальнейшем будет доказана для функций.

7. Сходимость монотонной последовательности. Определение. Последовательность xn называется возрастающей

(не убывающей), если для любых n N выполняется условие xn+1>xn(xn+1xn). Определение. Последовательность xn называется убывающей

(не возрастающей), если для любых n N выполняется условие xn+1<xn. (xn+1xn).

Заметим, что монотонность последовательности может начинаться с некоторого n0. Примеры. хn=n+1 - возрастающая,

xn=1/n - убывающая, yn=sin( n/2) - общего вида,

{ 1; 1; 1/2; 1/2; 1/3; 1/3; ...; 1/n; 1/n; ...} - не возрастающая.

Теорема. Всякая монотонная неубывающая (невозрастающая) последовательность, ограниченная сверху (снизу), сходится.

Доказательство. Т.к. {xn} и ограничена сверху, то последовательность xn имеет точную верхнюю

грань s= Sup{xn} .

n

По определению точной верхней грани имеем: по любому >0 существует элемент xm такой, что s-

Примеры.

Проверить выполнимость достаточных условий сходимости последовательности.

5n2

Получим после преобразований 3(2n+1)>0. Следовательно xn+1>xn при всех n N, т.е. монотонность показана.

Тогда, действительно xn>0 и последовательность является монотонно возрастающей, т.к.

Все условия выполнены.

8. Второй замечательный предел.

Рассмотрим последовательность xn=(1+1/n)n. Относительно этой последовательности докажем:

1. монотонное возрастание,

2. ограниченность сверху.

Тогда по теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности получим, что предел xn существует.

Таким образом xn+1>xn при всех n N. Значит последовательность xn строго монотонно возрастающая. б. Ограниченность.

<2+1/2!+1/3!+...+1/n!< 2+1/2+1/4+1/8+...=2+1=3

Таким образом, последовательность {xn}ограничена сверху числом 3.

Тогда в силу указанной теоремы последовательность имеет предел. Этот предел называется вторым замечательным и обозначается буквой е, т.е.

Замечание. Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются символом ln A, т.е. logeА ln A.

Например. ln 10=ln(2 5) ln2+ln5.

pn! q =(2+1/2!+1/3!+...+1/n!)n!+ n , где левая часть и первое слагаемое в правой части целые числа, а

второе слагаемое правой части - правильная дробь.

Значит наше предположение о рациональности числа е неверно, т.к. последнее равенство не имеет места.

Для доказательства положить n=-k.

9. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Определение. Последовательность xn называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю, т.е. по любому >0, существует n0( ) N, что при всех n>n0( ) => |xn-0|< .

Теорема. Для того чтобы последовательность xn имела предел А, необходимо и достаточно чтобы последовательность xn-A была бесконечно малой.

Доказательство.

Теорема. Если xn бесконечно малая последовательность, то обратная ей последовательность yn=1/xn (xn 0, n N) является бесконечно большой и наоборот: если xn - бесконечно большая, то 1/xn - бесконечно

малая.

Доказательство. Пусть xn - бесконечно малая, т.е. по >0, n0( ) N, что |xn|< при n>n0. Откуда |1/xn|>1/ при всех n>n0( ). Принимая 1/ =Е при всех n>n0 ,будем иметь |yn| |1/xn|>E. Что означает по определению, что yn=1/xn является бесконечно большой.

Обратное доказывается аналогично.

10.Некоторые примеры.

1.Написать общий член последовательности, каждый член которой на единицу больше числа кратного 3. Решение. Любое число, кратное 3, можно записать в виде yn=3n . Тогда общий член указанной

последовательности имеет вид xn=3n+1, где n=0, 1, 2, ... . Эту же последовательность можно задать общим членом вида xn=3n-2, где n N.

n

2. Доказать, что последовательность с общим членом xn= 2n 1 монотонно возрастает.

[(2n+1)(2n+3)]-1>0 для любых n N , то есть xn+1-xn>0 или xn+1>xn. Значит последовательность возрастающая.

наименьший член х10=20.