Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

4.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2619 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x=a cos t, y=b sin t, t [0, 2 ).

Решение.

Воспользуемся формулой площади, когда граница фигуры задана в

параметрическом форме, тогда S 1 2 xy' yx' dt ab .

2 0

6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями:

r= 32 cos , r=3sin .

Решение.

Искомая площадь представляет собой сумму площадей Ol1MO и Ol2MO, которое вычисляются по формулам

				1	2	r 2					/ 2	cos2 d	9
				1	2						/ 2		9
SOl MO=							( )d 9								arctg	2
SOl MO=							( )d 9								arctg	2
	1			2		1							2	2
				2							arctg	2	2	2
					1

				1	arctg			2	sin 2 d
SOl MO=				1	9
SOl MO=				2	9
	2			2
	2
						0

		9								2

			arctg			2
			arctg			2
		4							3

	9	arctg			.
S=	9		2	2
S=	4		2	2
	4
7. Вычислить объема эллипсоида						x2	y2	z2	1 .
7. Вычислить объема эллипсоида						a2	b2	c2	1 .
						a2	b2	c2

Решение. Найдем площадь S(x) сечения эллипсоида плоскостью x=const.

Это сечение есть эллипс

b2 (1

)

Тогда S(x)= bc(1-x2/a2),

x [-a, +a].

2 3

a	a		x	2		4
Поэтому V= S(x)dx			x			4	abc .
				2
		bc 1		2	dx	3
a	a		a			3

8. Оси двух одинаковых цилиндров пересекаются под прямым углом. Найти объем тела получающегося при пересечении цилиндров, радиус основания которых равен .

Решение. Пусть оси цилиндров совпадают с осями координат Ох, Oz. Тогда одна восьмая часть тела можно изображать на рисунке.

Сечение M1K1L1y тела PLKMO при фиксированном у представляет собой

квадрат со стороной а2 у2 и площадью S(y)=a2-y2.

a	а2	у2 dу	2	а3 . Vиск=	16		а3 .
Тогда VPLKMO=
						3
			3
0

9. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной астроидой x=a cos3t, y=a sin3t.

Решение. Искомый объем V равен удвоенному объему, полученному от вращения указанной фигуры при х0, у0.

Следовательно

	a					0								32
V=2 у2dх				2		a2 sin6 t 3a cos2 t sin t dt								32	a3
V=2 у2dх				2		a2 sin6 t 3a cos2 t sin t dt								105	a3
0						/2								105
0						/2
10. Вычислить длину кривой у=ln cos x													при х[0; /4].
										b
										b			х
													х
Указание. Применить формулу l=											1 у 2 dх , x [a, b].
										a			3
													3
11. Вычислить длину астроиды х=cos3t, y=sin t.
Решение. Найдем x t, y t: x t=-3cos2t sin t, y t=3sin2t cos t.
	/2											/2
	/2				x							/2
Тогда l=4					x	2 — 2d› 6							sin 2tdt 6.
		0			t			t					0
		0											0
12. Найти длину кардиоиды r=1+cos , [0; 2 ).
					2
					2

Решение. Так как l=								r2 (r )2 d , ( 2> 1), то в нашем случае длина
						1
											2cos d 8
кривой будет равна интегралу l= 2											2cos d 8
										0			2
										0
Здесь использовано:
2\|cos( /2)\|=2cos( /2)						при		[0; ]			и
2							cos
2
2	cos		d 4						d 4 cos d
0		2				0		2			0		2
0						0					0		НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
Лекция 25.													НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

§ 1. Интеграл по бесконечному промежутку.

1. Основные понятия.

Ранее мы рассматривали определенный интеграл функции заданной на конечном промежутке [a, b] . Причем на функцию накладывались некоторые существенные условия, как например: ограниченность или непрерывность. Такие интегралы мы называли интегралами Римана.

Сейчас кратко дадим одно из обобщений интеграла Римана, а именно определим понятие интеграла с бесконечным промежутком интегрирования.

Определение. Пусть функция у=f(x) определена и ограничена на промежутке [a,+ ) и интегрируема на

A
любом отрезке [а, А] , т.е. существует интеграл Римана f (x)dx J(A) . Предел lim J(A) конечный
a	A

или нет называют несобственным интегралом функции f(x) по бесконечному промежутку [а, + ) и обозначают

		def		A
символом	f (x)dx		lim	f (x)dx
	a		A a

Сам символ	f (x)dx также называют несобственным интегралом.

После этого возникает вопрос о конечности или бесконечности несобственного интеграла, т.е. о сходимости или расходимости интеграла.

Определение. Если lim f (x)dx существует и конечен, то говорят что несобственный интеграл

A a

f (x)dx сходится, если же указанный предел бесконечен или не существует, то несобственный интеграл

называется расходящимся.

Замечание. Аналогично можно ввести понятие несобственных интегралов вида

	a		a
1.	f (x)dx	lim	f (x)dx ,
		A A
			A
2.	f (x)dx	lim	f (x)dx .
		A A

Геометрический смысл интеграла

f (x)dx . Если

f (x)dx сходится и

f(x) 0, то он численно равен

площади фигуры ограниченной кривыми: у=f(x), х=а, у=0; х а.

Примеры.

arctgA

arctgA , то

arctgA

. Так как

lim

0 1 x2

01 x2

Adx

;

lim

1 x3

2x2

2A2

xdx e x

A 1 е A ,

Так как

e xdx

lim (1 e A ) 1.

то

2. Применение основной формулы интегрального исчисления.

Предположим далее, что для функции у=f(x) на любом промежутке [a, A] существует первообразная F(x).

Тогда в этом случае

f (x)dx F(A)

F(a) F(x)

. Поэтому несобственный интеграл

f (x)dx

будет сходиться в том и только в том случае, если существует и конечен предел

lim

F(A) =k0. т.к.

F(A) F(a)

f (x)dx

lim

F(A) F(a)

Пример.

sin

cos

1, т.к.

cos

sin

. Здесь принято

F(+ )=

lim F(A)

2/ x2

Замечание. Относительно несобственных интегралов имеют место:

1.	Интегрирование по частям.

2.	Замена переменных f (x)dx f ( (t)) '(t)dt ; x= (t), f(x) -непрерывна, (t) C1[ , ],
		а
	( )=a; lim (t)=+ ;
	t

3.	kf (x)dx k	f (x)dx ;
	а	а

4.	f (x) g(x) dx		f (x)dx	g(x)dx .
	а		а	а

При условии, что указанные интегралы сходятся.

З. Элементарная теория несобственных интегралов.


1. Если интеграл f (x)dx сходится, то сходится также интеграл			f (x)dx
а			В
	В
обратное, причем f (x)dx = f (x)dx +		f (x)dx .
а	а	В

при любом B>а, верно и

Равенство очевидно.


2. Если интеграл f (x)dx сходится,	то lim	f (x)dx =0 . Верно и обратное.
а	A А

Интеграл f (x)dx называется остаточным интегралом.
А
			А
Действительно. Пусть f (x)dx сходится, т.е.		lim	f (x)dx =	f (x)dx , что
а	A а			а
на языке , означает: для любого >0 ,	существует ( )>0, что при всех
	А
A> ( ) имеет место неравенство \| f (x)dx - f (x)dx \|< .
а	а

Или \| f (x)dx \|< . Последнее означает	lim	f (x)dx =0
А	A	А

3.Сходимость интеграла х .1

Решение.

а. Пусть 1.

, 1; ~ сходится;

lim

1 x

~расходится.

lim lnx

1A + ~ расходится. Итак

б. Пусть =1.

1 х

сходится при >1

и расходится при 1. Аналогичный результат получим для интеграла

, a>0.

Замечание. Интегралы sin xdx ,

cosxdx расходятся, т.к.

cosx

aA - не существует;

sin xdx =

lim

sin xdx

lim

sinx

aA - не существует.

cosxdx =

lim

cosxdx

lim

4. Сходимость несобственного интеграла от неотрицательной функции.

	А
1. Если функция у=f(x) 0	(неотрицательна), то J(A)= f (x)dx монотонно не убывающая функция
	а

переменного А.

Но монотонная неубывающая функция J(A) имеет предел при A + в том

и только в том случае, если она ограничена при А + .

Теорема. Интеграл			f (x)dx при f(x) 0 сходится при условии
			а
		А
ограниченности интеграла		f (x)dx		при любом А а.
		а
			А
(Так как f (x)dx =	lim		f (x)dx )
а	A a

Пример. Исследовать сходимость интеграла

.Так как

1 х2

1 x2

А dx

то интеграл сходится, если

ограничен. Действительно

1 х2

arctgх

arctgA

3. Следовательно

сходится.

01 x2

0 1 х2

2. Если g(x) f(x) 0

при любом х а, то из сходимости интеграла

g(x)dx следует сходимость интеграла

f (x)dx , а из расходимости интеграла

f (x)dx следует расходимость интеграла

g(x)dx . Данное

утверждение следует из пункта 1.

3. Если существует конечный предел lim f (x)

x g(x)


=k 0, то интегралы	f (x)dx и	g(x)dx сходятся
	а	а

или расходятся одновременно. Примеры.

xdx

;

1. Интеграл

сходится т.к.

x3/2

1 x4

0 1

|cosx|

dx сходится т.к. 0

|cosx|

2. Интеграл

а интеграл

сходится.

e x2 dx сходится , т.к. е-х2е-х при х1, а

3. Интеграл

e xdx - сходится, т.к.

e xdx

e xd( x) lim

( e 1 e A )

4. Интеграл

расходится, т.к. 1/lnx>1/x

при х2, а

- расходится.

ln x

х3/2dx

х3/ 2

5. Интегралы

расходятся. Сравнить функции

х2

1 х2

6. Интегралы

сходятся, т.к.

при х + .

х2

1 х 1 x2

х 1 x2

5. Более тонкие признаки сходимости несобственного интеграла.

а. Признак Дирихле.

Пусть функции f(x) и g(x) определены на [a, + ) и 1. f(x) интегрируема на любом отрезке [a, A], A a;

2. | f (x)dx | const при А а;

3. g(x) монотонно стремится к нулю при х + (g(x)=>0),

Тогда g(x)f (x)dx сходится.

sin x		dx , >0, сходится.
Пример.
	x
а

1. | sin xdx | 2 существует и ограничен.

2. х 0 монотонно, при >0.

Значит выполнены все условия признака Дирихле.

	sin x
	sin x
Пример.	\|ln x\|		dx сходится.
Пример.	\|ln x\|	x2	dx сходится.
а		x2

sin x

dx существует и ограничен (смотри пример выше);

ln x

g(x)=

монотонно стремится к нулю при любом >0, если х + .

Это следует из того, что g'(x) ln x 1

( ln x) 0 при больших х.

sin x

dx - сходится

Замечание. При <0

, а

x2 |ln x|

б. Признак Абеля.

Пусть функции f(x) и g(x) определены на [a, + ) и

1. f(x)

интегрируема на [a, + ), т.е. интеграл f (x)dx сходится;

2. g(x) монотонна и ограничена, т.е. |g(x)| k0

при х[a, +).

Тогда

g(x)f (x)dx сходится.

x sin x

Пример. Интеграл

dx сходится

при >0.

sin x

1. Интеграл

dx сходится по признаку Дирихле.

2. е- х 1 и монотонна при

>0.

Значит признак Абеля «срабатывает», т.е. интеграл сходится.

cosx

Пример.

Интеграл

dx сходится.

(1 x2 )2

cosx

1. Интеграл

dx сходится, т.к.

, а интеграл

сходится.

1 x2

2. Функция

монотонна и ограничена. Значит условия признака Абеля выполнены, а тогда интеграл

1 x2

cosx

сходится.

(1 x2 )2

Примеры.

lim

2 xln

2ln

сходится.

lim

x2 2x 5

е е x

2 2x 5

A 0 x2

2x 5

lim

arctg

x 1

arctg

B B x 2 2x 5

B 2

2 4

lim

arctg

x 1

arctg

A 0 x 2 2x 5

A 2

4 2

Итак.

, т.е. сходится.

2x 5

u x,

u' 1,

xcosx

xsin xdx

lim

xsin xdx

lim

cosxdx =

v' sin x, v cosx

lim

AcosA sinA .

Этот предел не существует, т.к. если Аk=2k f(Ak) -

A k =2k +1 , f(Ak) +

Исходный интеграл расходится.

расходится, т.к. при х

. Причем

- расходится, значит и

x sin2 x

sin2 x

- расходится.

x sin2 x

1 1

1 dx

lim

2 A

lim

A 2

§ 2. Интеграл от неограниченной функции.

Пусть f(x) задана на [a, b] и в любой окрестности (b- , b) является неограниченной. Тогда интеграл Римана

f (x)dx не существует. В этом случае возможно ввести понятие несобственного интеграла от неограниченной

функции по конечному промежутку [a, b] .

Определение. Конечный или бесконечный предел

	b	def b
lim	f (x)dx		f (x)dx
0	a		a

называется несобственным интегралом функции f(x) на промежутке [a, b].

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2619 20 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.1 Mб126Лекции-История и методология языкознания.doc
#
03.05.2015366.08 Кб155Лекции-ст.doc
#
13.08.201973.73 Кб8Лекции.doc
#
09.11.20184.19 Mб47лекции.doc
#
27.03.2015223.47 Кб36Лекции.docx
#
27.03.20154.74 Mб73ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев.pdf
#
27.03.2015274.94 Кб7Лекции_по_ИЭ_2.doc
#
11.03.20162.17 Mб28Лекции_тервер.pdf
#
27.03.20153.81 Mб123ЛекцииМО.doc
#
27.03.2015473.6 Кб10Лекционный курс для подготовки (студентам).doc
#
27.03.2015222.15 Кб17Лекция 02 Кинематика криволинейного движения..pdf