Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

4.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2620 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Если указанный предел конечен, то говорят, что f (x)dx сходится, если же предел бесконечен или не

существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

P.S. Аналогично вводятся несобственные интегралы с особенностями в т. х=а :

b		b
f (x)dx	lim	f (x)dx .
a	0a

Очевидно, несобственные интегралы от неограниченной функции по конечному промежутку можно свести к несобственному интегралу по неограниченному промежутку.

Например, пусть f(x) задана на промежутке [a, b] с особенностью в точке

x=b. Тогда замена t

b x

f (b

приводит интеграл

f (x)dx

к виду

)

dt .

b a

, x

1 dx

Пример.

- сходится.

t3/ 2

2 dt

, x 1

x 1

Пример.

- сходится.

x 1

t2t1/2

t3/ 2

2 dt

Пример.

tdt

- расходится.

0 x3

2 dt

Вычислить интегралы по определению.

2 / 3

x 2 / 3

2 / 3

lim

. т.к. x

3 dx

0 x1/ 3

x1/ 3

0 2 2

2 / 3

2 2

1/2

0 x(x 1)

x(x 1)

1/2 x(x 1)

	1/2	dx
а)		dx

		x(x 1)
	0	x(x 1)
	1	dx
б)		dx


	1/2 x(x 1)

t,dx

dt,

t, x 1

x 1

2 dt

	1			dt
		2			- расходится
1 x			1	t
	2	dt			dt
				2		- расходится.
		1 t			1 t

Исходный интеграл расходится.

Исследовать сходимость интеграла

1 a

1 а

1 ; a 1;

1 dx

ln ; a 1.

ln x

1 dx
0		.
0	xa	.
		1 dx
	Итак			- сходится при a<1;	-
	Итак			- сходится при a<1;	-
		0 xa
расходится			при a 1.

§ 3. Вычисление интеграла Пуассона.


	x2	dx
e	x2
e			2
0			2
0

Прежде чем вычислять данный интеграл, установим некоторые неравенства. Рассмотрим функцию (t)=(1+t)e-t. Тогда

(t)=e-t-(1+t)e-t=e-t(1-1-t)=-t e-t. (t)=0 при t=0 - стационарная точка(t)=-e-t+te-t=e-t(t-1); (0)<0.

Значит (t) достигает в точке t=0 максимума, а следовательно

(1+t)e-t< (0)=1 при t; t 0. (1+t)e-t<1, при t 0/

Пусть в этом неравенстве t=x2, тогда: (1+x2)e-x2< 1, а при t=-x2 (1-х2)ex2<1. Из этих неравенств получим

(*)	1-x2<e-x2<	1	. (хотя бы для x>0)
		х2
	1

предположим далее, что х(0, 1), чтобы 1-х2>0, для левого неравенства; для правого неравенства х>0. Возводя в степень «n» неравенства (*), имеем:

							2	2	1
(**)			(1-x2)n<e-nx					и e-nx	<
(**)			(1-x2)n<e-nx					и e-nx	<	1 х2 n
			(0<x<1)							(x>0)
Интегрируем первое в промежутке от 0 до 1:
1				1
(1	x2 )n dx			e nx2 dx , а второе в промежутке									0 до +
0				0
	e nx	2				dx
		2	dx			dx

						(1 x2 )n
0			0			(1 x2 )n
1					e nx2 dx т.к. e-nx2>0. Следовательно имеет место
Очевидно e nx		2 dx <			e nx2 dx т.к. e-nx2>0. Следовательно имеет место
0			0
1				1			2				2		dx
(1 x2 )n dx				e nx			2	dx < e nx			2		dx
											dx			.
											dx		(1 x2 )n	.
0				0				0				0	(1 x2 )n

Можно вычислить:

А.

Б.

В.

1 t dt

x2 )n dx =(x=cos t)= sin2n t( sin t)dt

sin2n

(x ctgt)

sin2n t sin 2 tdt

sin2n 2

(1 x2 )n

e nx2 dx (u

e x2 dx .

2n!! (2n 1)!! .

t dt (2n 3)!! (2n 2)!! 2

Таким образом

(2n 3)!!

2n!!

e x2 dx <

(***)

(2n 1)!!

(2n 2)!!

Здесь мы воспользовались формулами:

sin2n х dх

(2n

1)!!

2n!!

sin2n 1 х dх

2n!!

(2n 1)!!

Возводим в квадрат (***)

(2n!!)2

(2n 3)!!(2n 3)!!

e x

(2n 1)!!(2n 1)!!

((2n

2)!!)2

	n			(2n!!)			2							x2		2			n (2n 3)!!(2n 1)!!							2
							2																			2

													e		dx										.
													e		dx										.
	2n 1 (2n 1)!!(2n 1)!!											0							2n 1		((2n 2)!!)2				2
Воспользуемся формулой Валлиса.
	lim			(2n!!)2
	lim	(2n 1)!!(2n						1)!!			2
	n	(2n 1)!!(2n						1)!!			2
					1					e x		2		2	1 2		2	,			e x	2	2	.
Тогда при n +					1							dx			1 2								dx

															2
				2		2			0						2	4		4		0				4
									0											0

				2
Откуда				e x		dx
Откуда				e x		dx			2
			0						2
			0
Лекция 26													ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
													ФУНКЦИЙ ДВУХ
													ПЕРЕМЕННЫХ.

1. Евклидово пространство.

Пару чисел называют упорядоченной, если указано какое из этих чисел считается первым, какое вторым. Произвольную упорядоченную пару чисел х и у записывают в виде (х; у), где х - первое число, у - второе.

Множество всевозможных упорядоченных пар (х, у) вещественных чисел х и у называется двумерным координатным пространством или координатной плоскостью и обозначается R2. Каждой упорядоченной паре (х, у) ставится в соответствие точка М из R2 и обозначается М(х, у). Числа х, у называются координатами точки М.

Расстоянием между двумя произвольными точками М1(х1, у1) и М2(х2, у2) координатного пространства R2

называется число (М1, М2) определяемое формулой (М1, М2)=

х2 х1 2 у2 у1 2

Координатное пространство R2 с введенным по этой формуле расстоянием между двумя точками образует двумерное евклидово пространство или евклидову плоскость и обозначается Е2.

2. Множества точек пространства Е2.

Пусть точка М0(х0, у0) Е2, a r - положительное число. Тогда множество точек {M| (М, M0) r} из Е2 (т.е. множество всех точек евклидова пространства Е2, удовлетворяющих условию (M, M0) r) представляет собой круг радиуса r с центром в точке М0.

Множество точек {M| (М, M0)<r} из Е2 называется открытым кругом радиуса r с центром в М0. Множество точек {M| (М, M0)=r} из Е2 представляет собой окружность радиуса r с центром в М0. Открытый круг радиуса >0 с центром в точке М0 называется

- окрестностью точки М0

Обозначим через {M} - некоторое множество точек пространства Е2.

Определение. Точка М0 называется внутренней точкой множества {M} , если существует -окрестность точки М0, целиком принадлежащая множеству {M}. (рис. 1).

Определение. Точка М0 называется граничной точкой множества {M},

если в любой -окрестности точки М0 содержатся точки как принадлежащие, так и не принадлежащие множеству

{M} (рис. 2).

Определение. Совокупность всех граничных точек множества {M} называется его границей обозначается

{M }.

Граничная точка может как принадлежать самому множеству, так и не принадлежать. Определение. Множество {M} называется открытым, если все его точки - внутренние.

Определение. Точка М0 называется предельной точкой множества {M}, если в любой -окрестности точки М0 содержится хотя бы одна точка множества {M}, отличная от М0.

Определение. Множество {M} называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Определение. Множество {M} называется ограниченным, если все его точки содержатся в круге

конечного радиуса.

Определение. Множество {M} называется связным, если две любые его точки можно соединить непрерывной линией L, целиком принадлежащей этому множеству: L {M}.

Определение. Открытое связное множество называется областью, а объединение области {M} и ее границы {M } - замкнутой областью { М }

3. Последовательности точек в пространстве Е2.

Если каждому натуральному n поставлена в соответствие точка MnE2 , то говорят, что определена

точечная последовательность пространства Е2: M1, M2, ...,Mn,... или {Mn}.

Определение. Точка М0 называется пределом точечной последовательности {Mn}, если lim (Mn, M0)=0 и

обозначается следующим образом lim Mn=M0 или MnM0 при n .

Последнее означает, что для любого положительного числа >0 найдется зависящее от натуральное n0() такое, что для всех точек Mn

последовательности с номерами n большими этого n0( ) расстояния между Mn и М0 меньше :

>0 n0( ): n>n0 => (Mn, M0)< .

Последовательность {Mn} называется при этом сходящейся к точке М0.

Лемма. Точечная последовательность {Mn(xn, yn)} сходится к точке М(х0, у0) при n тогда и только

тогда, когда координатные последовательности {xn} и {yn}			сходятся к «х0», «у0» соответственно:
Mn (xn ,yn ) M0 (x0 ,y0 ) (xn			x0 ,yn	y0 )
n		n		n
Определение. Последовательность {Mn}	называется фундаментальной, если для любого положительного
числа >0 найдется зависящее от натуральное	n0( ) такое, что для всех номеров n>n0( ) и любого натурального

рвыполняется равенство (Mn, Mn+p)< :

>0 n0( ): n>n0, p N => (Mn, Mn+p)< .

Теорема 1. (критерий Коши).

Для того, чтобы точечная последовательность {Мn} сходилась, необходимо и достаточно , чтобы она была

фундаментальной.

Определение. Последовательность {Mn} называется ограниченной, если все точки Mn содержатся в некотором круге конечного радиуса R>0 с центром в начале координат - точке О.

Теорема 2. (Больцано - Коши)

Из любой ограниченной последовательности точек {Mn} E2 можно выделить сходящуюся

подпоследовательность.

Пример 1. Доказать, что если М0 - предельная точка множества {M}, то существует последовательность {Mn}, сходящаяся к М0, каждая точка которой принадлежит множеству {M} и не совпадает с М0.

Решение. Рассмотрим 1 окрестность точки М0, где 1 1. Согласно определению предельной точки

множества, в 1-окрестности точки М0 содержатся точки множества {M}, отличные от М0. Возьмем одну из этих точек и обозначим ее М1. Пусть (М1, М0)= 1. Очевидно 1<1.

Положим 2=min( 1, 1/2). В 2-окрестности точки М0 также содержатся точки множества {M}, отличные от М0 . Одну из этих точек обозначим М2. Пусть (М2, М0)= 2. Очевидно 2<1/2.

Далее положим 3=min( 2, 1/3) и аналогичным образом выберем точку М3 {M}. При этом (М3,

М0)= 3<1/3.

Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность {Mn}, каждая точка которой принадлежит {M} и не совпадает с М0, причем (Мn, М0)<1/n. Отсюда следует, что Mn M0 при n .

4. Функция двух переменных.

Определение. Пусть:

1) Даны произвольные точечное множество D из R2 и числовое множество Z из R1: D R2; Z R1.

2) Каждой точке M(x, y) D по некоторому закону «f» поставлено в соответствие единственное число z Z:

M(x, y) z.

Тогда говорят, что на множестве D задана однозначная функция двух переменных х, у : z=f(x, y) или z=f(M). Числовые переменные х, у называются независимыми переменными (или аргументами). Множество D R2 называется областью определения функции f(М) , а число z Z, соответствующее точке М - частным значением функции f в точке М. Совокупность {z} всех частных значений функции z=f(M) называется ее множеством значений или областью изменения.

Определение. Поверхность, образованная совокупностью точек M(x; y; z=f(x, y)) из R3, называется графиком функции z=f(x, y).

Определение. Зафиксируем некоторое z0 из области изменения функции z=f(x, y) . Совокупность точек A{(x, y) D R2| f(x, y)=z0}, в которых значение функции f есть величина постоянная равная z0, называется линией

уровня функции z=f(x, y) , соответствующей z0.
Линии уровня дают наглядное представление			о графике действительнозначной функции двух
переменных, образуя так называемую топографическую карту в R2.
Примеры.

1. Найти область определения функции z= 1 у2			х2 1 .

Решение. Поскольку исследование функции z проводится в действительной области, то необходимо выполняется система неравенств

	у		2	0,	2		1,
						у
1						у		\|у\| 1,

х2		1		0;	х2		1;	\|х\| 1.

Следовательно, область определения данной функции составят точки М(х, у) плоскости R2 , образующие две следующие горизонтальные неограниченные полуполосы.

2. Найти область определения функции z=arcsin(y/x).

Из определения главной ветви арксинуса следует, что

y 1;

x Данной системе удовлетворяют координаты

x 0.

точек М(х, у) , образующие в плоскости R2 пару вертикальных углов |y| |x| (x 0).

3. Построить линии уровня функции z=x2+y2. Решение.

Уравнение (по определению) линии уровня имеет вид х2+у2=z0, где z0=const. Очевидно, что геометрически при z0 0 оно изображает окружность с центром в начале

координат и радиусом r= z0 . При z0 0 окружность

«вырождается» в точку - начало координат. Для z0<0 нет действительнозначных ветвей, соответствующих рассматриваемому уравнению.

6. Предел функции. Теоремы о пределах.

Пусть функция z=f(M) определена на множестве точек {M} и М0 - предельная точка множества {M}.

Определение. (по Коши).

Число b называется пределом функции f(М) в точке М0, если

для любого положительного числа >0 найдется зависящее от положительное ( )>0 такое, что для всех точек М М0 из -окрестности точки М0 выполняется неравенство

|f(M)-b|< ,

т.е. >0 ( )>0 M:0< (M; M0)< => |f(M)-b|< .

Определение. (по Гейне). Число «b» называется пределом функции f(M) в точке М0, если для любой сходящейся к М0 последовательности {Mn} такой, что Mn {M}, Mn M0, соответствующая последовательность

значений функции {f(Mn)} сходится к «b».

Обозначение. lim f(M)=b или	lim	f(x, y)=b,
М М 0	x x	0
	у у	0

где х0, у0 - координаты точки М0; х, у - М.

	Замечание. Приведенные определения предела функции эквивалентны.
	Теорема 3. Пусть функции f(M) и g(M)		определены на множестве {M}			и lim		f(M)=b,
						М М 0
lim	g(M)=c.
М М 0
	Тогда:	lim [f(M)+g(M)]=b+c;	lim [f(M)-g(M)]=b-c;
	М М 0		М М 0
		lim f(M) g(M)=b c;	lim	f (M)		g(M) 0, c 0.
					=b/c, если
					=b/c, если
	М М 0		М М 0	g(M)
	Определение. Функция z=f(M) называется бесконечно малой при М М0 (в точке М0), если
lim	f(M)=0.
М М 0
	Если f(M)	и g(M) - бесконечно малые функции при М М0 и если				lim	f (M)		=0, то говорят, что

							g(M)
					М М 0		g(M)
функция f(M) является бесконечно малой более высокого порядка при М М0						(в точке М0) чем g(M), и пишут

f=o(g) при М М0.

Пусть функция z=f(М) определяется на связном множестве {М}, которое содержит точки, сколь угодно удаленные от точки О(0; 0).

Определение. Число «b» называется пределом функции f(М) при М, если >0, ( )>0 такое,

что М, удовлетворяющих условиям	М{M}; (M, 0)> , выполняется неравенство \|f(M)-b\|< .
Обозначение: lim f(M)=b	или lim	f(x, y)=b.
М	x
	у

Замечание. Определенный выше предел называют двойным пределом функции двух переменных

7. Повторные пределы.

Для функций двух переменных наряду с двойным пределом вводится понятие повторного предела. Пусть функция z=f(x, y) определена в прямоугольнике

Q{M(x, y) | |x-x0|<d1< |y-y0|<d2}, кроме, быть может, отрезков прямых х=х0 и у=у0. При фиксированном значении переменной «у» функция f(x, у)

становится функцией одной переменной «х». Пусть для любого фиксированного значения «у» (см. Рис. 5), удовлетворяющего условию

0<|y-y0|<d2, существует предел функции f(x, y) при х х0 (этот предел зависит, вообще говоря от у): lim f(x, y)= (у).

x x0

у фикс

Пусть далее, предел функции (у) при у у0 существует и равен «b»:

lim (y)=b.

у у0

тогда говорят, что в точке М0(х0, у0) существует повторный предел функции f(x, y) и пишут:

lim	lim f(x, y)=b.
у у0	x x0
При этом lim f(x, y)	называют внутренним пределом в повторном.
x x0

Аналогично определяется другой повторный предел

lim	lim	f(x, y)=b,
x x0	у у0
в котором внутренним является		lim f(x, y).
		у у0

рис. 5

рис. 6

Замечание. Стремление точки М(х, у) к предельной М0(х0, у0) при нахождении повторных пределов происходит по ломанной, звенья которой параллельны сторонам прямоугольника Q (рис. 5). Обычный же (двойной) предел единственный для произвольных способов стремления М М0 (рис. 6).

Теорема 4. Пусть в точке М0(х0, у0) существует предел функции f(x, y)

lim	f(x, y),
x x	0
у у	0
а также внутренние пределы для повторных lim		f(x, y) ; lim f(x, y).
	у у0	x x0

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2620 21 22 23 24 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.1 Mб126Лекции-История и методология языкознания.doc
#
03.05.2015366.08 Кб155Лекции-ст.doc
#
13.08.201973.73 Кб8Лекции.doc
#
09.11.20184.19 Mб47лекции.doc
#
27.03.2015223.47 Кб36Лекции.docx
#
27.03.20154.74 Mб73ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев.pdf
#
27.03.2015274.94 Кб7Лекции_по_ИЭ_2.doc
#
11.03.20162.17 Mб28Лекции_тервер.pdf
#
27.03.20153.81 Mб123ЛекцииМО.doc
#
27.03.2015473.6 Кб10Лекционный курс для подготовки (студентам).doc
#
27.03.2015222.15 Кб17Лекция 02 Кинематика криволинейного движения..pdf