ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

Тогда существуют и повторные пределы f(x, y) в точке М0: причем имеют место равенства :

Следствие. Пусть повторные пределы существуют, но не равны:

Решение. Точка О(0, 0) является предельной для области определения f(x, y). Значит, можно находить предел функции в О.

Воспользуемся определением предела функции по Коши. Зададим произвольное >0 и положим = /2. Тогда, если

(М, 0)= x 2 y 2 < , то |x|< , |y|< . Следовательно, |f(x, y)-0|=|(x+y)sin(1/x)sin(1/y)| |x+y| |x|+|y| 2 = . Это и

двойного.

Решение. По теореме о пределах вычисляем повторные:

Для того чтобы показать, что двойного предела не существует, вычислим

предел по двум различным кривым, примыкающим к началу координат: у=е-1/х2 , у=2е-1/х2 .

Следовательно двойного предела не существует, так как предел (по определению!) не зависит от способа стремления к предельной точке.

Замечание. Этот пример показывает, что теорема 4 необратима.

3. Показать, что функция z=y+x2sin 1/y имеет двойной предел и один повторный предел в точке О(0, 0). Другого повторного предела в этой точке не существует.

Определение. Предельные точки области определения функции z=f(M), в которых функция не является непрерывной , называются точками разрыва этой функции.

9. Непрерывность по отдельным переменным.

Зафиксируем какой-либо аргумент функции z=f(x, y) , например у, положив у=у0. Аргументу х в точке М0(х0, у0) дадим произвольное приращение х. Функция z=f(x,y) получит приращение xz=f(x0+ x, y0)-f(x0, y0), которое называется частным приращением функции в точке М0, соответствующему приращению х аргумента х. Отметим, что xz является функцией одного переменного х. Аналогично можно ввести частное приращение

уz=f(х0,у0+ y)-f(x0, y0),

Определение 1. Функция z=f(x, y) называется непрерывной в точке

точке T(t1,t2) {T} Ставится в соответствие точка M(х, у)Е2. Множество таких точек обозначим {M}. Пусть на множестве {M} определена функция z=f(x, y) . Тогда говорят, что на множестве {T} определена сложная функция

z=f( (t1,t2), (t1, t2)).

Теорема 7. (о непрерывности сложной функции).

Пусть функции х= (t1,t2), y= (t1, t2) непрерывны в точке N0(t10, t20), а функция z=f(x, y) непрерывна в точке

М0(х0, у0), где х0= (t10, t20), у0= (t10, t20). Тогда сложная функция z=f( (t1,t2), (t1, t2)) непрерывна в точке N0. Функция z=f(M) называется непрерывной на множестве {M}, если она непрерывна в каждой точке этого

множества.

Функция z=f(М) называется ограниченной на множестве {M}, если существуют числа «с» и «С» такие, что для любой точки М из {M} выполняются неравенства сf(M) C.

Теорема 8. (Вейерштрасса).

Непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция ограничена на этом множестве. Примеры.

предел функции f(x, y) в точке О(0, 0) не существует, а тогда данная функция в этой точке является разрывной

ху

4.Найти точки разрыва функции z= х3 у3 .

Данная функция не определена в тех точках, где знаменатель дроби равен нулю: х3-у3=0, т.е. функция не определена на прямой х=у (почему?). В остальных точках плоскости функция определена , поэтому каждая точка прямой х=у является предельной точкой области определения . В любой точке прямой у=х функция не является непрерывной, т.к. z(M0) не существует

(см. определение). Таким образом, любая точка прямой у=х есть точка разрыва данной функции.

х у

В любой точке N0 , не лежащей на прямой у=х, функция z= х3 у3 непрерывна. Это следует из теоремы 6,

поскольку функции х, у, х3, у3

Обратная теорема неверна, т.е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции.

3. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

Напомним, что для функции одной переменной у=f(x) существование производной в точке х0 является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке. Для функции нескольких переменных дифференцируемость и существование частных производных не является эквивалентными свойствами функции.

Теорема 1. (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция z=f(x, y) дифференцируема в точке М, то она имеет в точке М частные производные по каждому аргументу х, у.

При этом f (M) =А; f (M) =В, где А, В - числа из равенства (1). Поэтому условие (1) можно

x у

записать в виде

Обратная теорема неверна, т.е. существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Теорема 2. (достаточное условие дифференцируемости).

Если функция z=f(x, y) имеет частные производные по каждому аргументу х, у в некоторой окрестности точки М(х, у) , причем частные производные непрерывны в точке М, то функция z=f(x, y) дифференцируема в точке М.

4. Геометрический смысл дифференцируемости функции.

Известно, что для функции одной переменной у=f(x) из дифференцируемости функции в точке х0 следует существование касательной к графику функции в точке М(х0, f(x0)).

Рассмотрим непрерывную функцию z=f(x, y); (х, у)D E2.

Г={(x; y; f(x, y) (x, y)D}, представляет собой поверхность в пространстве Е2.

Пусть плоскость Р проходит через точку N0(x0; y0; f(x0, y0)) поверхности Г и N(x, y, f(x, y)) ее произвольная точка, не совпадающая с N0;

N1 - основание перпендикуляра, проведенного из точки N

к плоскости Р.

Определение. Плоскость Р, проходящая через точку N0 поверхности Г, называется касательной плоскостью к Г в этой же точке, если при N N0 (NГ) величина (N; N1) является бесконечно малой более

5. Дифференцируемость сложной функции.

Теорема 4. Пусть функции х= (u, v), y= (u, v) дифференцируемы в точке N0(u0, v0), а функция z=f(x, y) дифференцируема в точке М0(х0, у0), где х0= (u0, v0), y0= (u0, v0). Тогда, при условии ее существования , сложная функция z=f( (u, v), (u, v)) дифференцируема в точке N0 и ее частные производные в этой точке выражаются формулами

6. Дифференциал функции.

Пусть функция z=f(x, y) дифференцируема в точке М(х, у), т.е. ее приращение в этой точке можно представить в виде (2):

Определение. Дифференциалом функции z=f(x, y) в точке М0 называется линейная относительно приращений х, у функция

dz(M)= f (M) x+ f (M) y.

x у

Для симметричности записи по определению будем называть приращения независимых переменных х, у в точке М дифференциалами этих переменных: