Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

4.74 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2624 25 26 > Следующая >>>


первого ряда не превосходят членов второго, т.е. u v			при n n0. Тогда из сходимости ряда			v следует
	n	n			n 1	n
					n 1

сходимость ряда	u , а из расходимости ряда		u следует расходимость ряда		v .
	n		n		n
n 1	n 1			n 1

Доказательство. Так как сходимость (расходимость) рядов не зависит от «отбрасывания» конечного числа членов, то доказательство достаточно провести для n0=1.

В силу того, что un 0 и vn 0 и un vn, то соответствующие частичные суммы рядов образуют

неубывающие последовательности и удовлетворяют условию S(nv) S(nu) 0. Откуда и следует утверждение теоремы.

1) Если

S(nv) сходится, то S(nu) монотонно неубывающая и ограниченная

S(u)

сверху, а значит существует предел

lim

и ряд

сходится.

n 1

2) Если

S(nu) расходится, т.е. lim S(nu) =+ , а

S(nv) S(nu) , то и

lim S(nv)

также равен бесконечности, а ряд

расходится.

n 1

Примеры.

. Представим

=1+

тогда

, а ряд

n 1 2

n(n

n 1 n2

n 1

сходится (было показано ранее). Значит ряд

сходится, а посему ряд

n(n 1)

n 1 2

n 1

также сходится.

n 1 n2

sin

. Для достаточно больших номеров n имеем sin

, а ряд

сходится, тогда и

n 1

n 1 n2

ряд

sin

также сходится.

n 1

Теорема. Пусть даны два ряда

un=u1+u2+...+un+..., un 0, и

vn=v1+v2+...+vn+..., vn 0,

причем

n 1

существуют положительные постоянные m и M такие, что при всех n n0 имеет место оценка

u n

v n

(vn 0).

Тогда ряды

v сходятся и расходятся одновременно.

n 1

Доказательство. Следует из предыдущей теорем, т.к. при n n0 имеет место оценка m vn un M vn.

Пример.

n 1 n2

Составим

u n

, т.е. 1<

2 при n N.

v n

1 2n

Последнее означает, что оба ряда сходятся, т.к.

сходится.

n 1 n2

u n

Теорема. Если для рядов

u и

, u 0, v >0, имеет место

lim

=r >0, то эти ряды

n v n

n 1

сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Из условия

lim

u n

=r >0 следует, что при достаточно больших номерах n имеем

n v n

0<r- 0<

u n

<r+ 0 .

v n

Утверждение следует из предыдущей теоремы.

Пример.

n 1 n2

Так как

lim

=1, то оба ряда сходятся

n n

(e1/n-1) и

1/n.

n 1

Так как

lim (e1/n-1) : 1/n=1, ряды оба расходятся, т.к. гармонический ряд расходится.

2. Признак Даламбера.

Теорема. Если для ряда

un (un>0) , начиная с некоторого номера n0 имеет место неравенство

n 1

un 1

q<1, то ряд сходится, а если

un 1

1, то ряд расходится.

Доказательство.

un 1

1. Пусть при n n0 имеет место

q<1, тогда рассмотрим ряд

q , (q<1), который сходится, т.к.

n 1

представляет собой сумму убывающей бесконечной прогрессии. Значит имеет место

un 1

q n 1

q n

(q=

q n 1

) или

un 1

, т.е. последовательность

u n

не возрастающая, т.е.

un 1

un0

=k0

q n

q n 1

q n

q n 1

q n0

un+1 k0 qn+1. Но ряд

k0qn+1 сходится, а ряд

un+1

сходится по признаку сравнения.

n 0

2. Если

un 1

при n n0, т.е.

u +1 u , то последовательность u

монотонно возрастающая и не выполняется

необходимый признак сходимости (un 0). В силу этого ряд

un расходится.

n 1

Предельный признак Даламбера.

Теорема.

1) lim un 1

n un

2) lim un 1

n un

3) lim un 1

n un

Если для ряда un (un>0) имеет место:

n 1

=q<1, то ряд сходится;

=q>1, то ряд расходится;

=q=1, то ряд может сходиться или расходиться (необходимо дополнительное исследование).

Замечание. Признак Даламбера удобно применять если общий член ряда un содержит факториал ( т.е. n!).

Примеры.

n 1 3n 3 (n 3)3

1) un=

при n ;

3n 3 (n 3)3

un 1

3n 3 (n 3)

1/3,

при n .

3n 4 (n

4)3

По признаку Даламбера ряд сходится.

n 1

1) un 0.

	u	n 1		(n 1)!nn	nn		1 n
2)			=			1
					(n 1)n
	un			(n 1)n 1n!			n 1

Так как е-1<+1, то ряд сходится.

e-1 при n .

	1
3. =	1	.

	n!
n 1	n!

1) un 0

2)	un 1	=	1		n!	1	0	при n . Ряд сходится.
			(n 1)!			n 1
	un			1

3. Признак Коши.

Теорема. Если для ряда un (un 0), начиная с некоторого номера n0 имеет место неравенство

n 1

nun q<1, то ряд сходится, а если nun 1, то ряд расходится.

Доказательство.

1. Рассмотрим остаток ряда:

un+1+un+2+...

(n n0).

Тогда из условия теоремы имеем un+1 qn+1,

un+2 qn+2, ... . То есть члены ряда

не превосходят членов сходящегося ряда

q k . По признаку

k n 1

сравнения исходный ряд сходится.

2. Если

n u

1, то u 1,

т.е. u

Вследствии чего ряд

u расходится.

n 1

Предельный признак Коши.

Теорема. Если для ряда

u имеет место:

n 1

lim

n u

=q <1, то ряд сходится;

lim

n u

=q >1, то ряд расходится;

lim

n u

=1, то ряд может сходиться, а может и расходиться (необходимо дополнительное исследование).

Замечание. Признак Коши удобно применять, если nый член ряда содержит nую степень какого - либо

выражения.

Примеры.

n 2 n

n 1

1) un 0

n 2

1/2 при n .

n u

2n 1

Значит по приказу Коши ряд сходится.

n 1 n2

1) un 0

= n

2) n un

при n .

Признак Коши не дает ответа о сходимости ряда, хотя мы знаем, что он сходится.

Следует отметить, что для этого ряда признак Даламбера тоже не решает вопроса о его сходимости, т.к.

un 1

при n .

n2 2n 1

n 1 n2

n 1

n 1 n2

1) an=

0 .

		n 1 n



		n	e	1
2) n a	n	n	e
2) n a		3	3

По признаку Коши исходный ряд сходится.

7. Знакопеременные ряды..

Определение. Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются числа произвольного

знака.

n(n 1)

n sin n

Например:

;

(-1)

n 1

Замечание. Наряду со знакопеременным рядом un

можно рассматривать ряд из модулей его

n 1

элементов, т.е. ряд

|un|.

n 1

Определение. Знакопеременный ряд

un называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

n 1

|un|.

n 1

Определение. Знакопеременный ряд

un называется условно сходящимся, если ряд un -

n 1

сходится, а ряд |un| расходится.

n 1

Отметим, что если ряд

|un| сходится, то ряд

un необходимо сходится. Обратное неверно.

n 1

Знакочередующиеся ряды.

Определение. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если любые соседние его члены имеют разные знаки.

( 1)

Например.

;

n 1

Теорема. (признак сходимости Лейбница)

Если для ряда

(-1)n-1u

>0) имеет место: 1) u u

при любых n N;

n 1

2) lim un=0, то ряд сходится.

Доказательство. Для любого n: S2n=u1-u2+u3-u4+...+u2n-1-u2n или

S2n=u1-(u2-u3)-(u4-u5)-...-(u2n-2-u2n-1)-u2n.

Значит S2n u1

в силу монотонности {un} или un-1-un 0.

Аналогично S2n+2=S2n+u2n+1-u2n+2 S2n , т.к. u2n+1-u2n+2 0, то есть

S2n+2 S2n.

Таким образом, последовательность {S2k} монотонно не убывает и ограничена сверху, т.к. S2n u1, n N.

Отсюда следует существование предела lim S2n=S u1.

Заметим, что S2n+1=S2n+u2n+1, отсюда следует существование предела

lim

S2n+1 , т.к. lim S2n=S и

lim u2n+1=0, то есть

lim S2n+1=S.

А значит ряд

(-1)nu сходится.

n 1

Примеры.

(-1)n

n 1

1) u =

при n ;

2) un+1<un, т.к.

n 1

Значит исходный ряд сходится (условно, т.к. мы знаем, что гармонический ряд

расходится).

n 1

(-1)

ln n

n 2

1) un= ln n 0, при n ;

2)un+1<un, т.к. ln(n 1) < ln n .

Значит исходный ряд сходится условно, т.к. ряд

расходится, по признаку сравнения с гармоническим

ln n

n 1

рядом (

ln n

8. Простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Если ряды

un и

vn сходятся, то ряды

(un vn),

c un и

c vn также сходятся.

n 1


2. Если ряд	un (un 0) сходится, то ряд	vn полученный из первого перестановкой членов также
n 1		n 1

будет сходиться.

3. Если в сходящемся ряде un (un 0) произвести группировку членов, не нарушая их порядка, то

n 1

полученный ряд будет сходиться.

Замечание. В условно сходящихся рядах группировка членов не правомочна.

		(-1)n - ряд расходится, а ряд полученный парной группировкой членов: (-1+1)+(-1+1)+...+(-
	Пример.
	n 1
1+1)+..., сходится.
Лекция 30			СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ.

		1. Общие замечания о функциональных рядах.
Рассмотрим ряд, членами которого являются функции одного переменного х с областью определения D, т.е.

	un(x) u1(x)+u2(x)+...+un(x)+...
n 1

	Определение.	Выражение	un(x),	x D, называется функциональным рядом относительно
			n 1
переменного х.
	По аналогии с числовыми рядами вводится понятие частичных сумм и сходимости функционального ряда.
			n
	а) Частичные суммы ряда :		Sn(x)=	uk(x).
			k 1

б) Сходимость ряда.

Если в каждой точке х D ряд

un(x) сходится в смысле сходимости числового ряда , то говорят,

n 1

что функциональный ряд сходится к некоторой функции f(x) , которая называется суммой этого ряда.


Например. xn, \|x\|<1.
	n 0
Здесь u =xn; S (x)=1+x+x2+...+xn, а f(x)=			1	.


n	n	1	x
		1	x

Замечание. Сумма ряда f(x) может быть как непрерывной, так и разрывной даже тогда, когда члены ряда un(x) являются непрерывными . Непрерывность функции f(x) зависит от характера сходимости ряда, т.е. от

характера сходимости функциональной последовательности Sn(x) к f(x) .

Определение. Совокупность всех значений переменной х для которых ряд

называется областью сходимости этого ряда. Примеры.

un(x) сходится,

n 1

	x	n
1. Найти область сходимости ряда	x		.

	2 n
n 1	2 n

Решение. Применим признак абсолютной сходимости Коши для определения

области сходимости: n|an | q<1. Все значения х удовлетворяющие

неравенству n|un (x)| 2x <1 или |x|<2 будут образовывать область сходимости указанного ряда, т.е D (-2; 2).

		1
2. Найти область сходимости ряда		1	.

	n2	x2
n 1	n2	x2

Решение. Воспользуемся признаком сравнения:

1	1
			для любого x R. Значит ряд
n2 x2		n2

		1
		1	сходится при любом x R, т.е. областью

	n2	x2
n 1	n2	x2

сходимости этого ряда будет все множество вещественных чисел (D R).


3. Найти область сходимости ряда	x n!.

n 1

Решение. При любом x R и х 0 имеем un(x) при n , т.е. не выполняется необходимый признак


сходимости ряда. Значит в любой точке х 0 ряд		x n! расходится.

Вточке х=0 ряд сходится и его суммой является число 0.


Итак, областью сходимости ряда			x n!	является точка х=0.
		n 1
		Абсолютная сходимость.

Определение. Ряд		un(x)	называется абсолютно сходящимся , если сходится ряд				\|un(x)\|.
	n 1				n 1
Замечание. В предыдущих примерах исследована абсолютная сходимость рядов.
		2. Степенные ряды.

Определение. Функциональный ряд				аn(у-у0)n называется степенным рядом, а числа			an, n N,
				n 1
называются коэффициентами степенного ряда.

Если в ряде	аn(у-у0)n сделать замену у-у0=х, то ряд можно записать в виде					аnхn .
n 1					n 1
						аnхn .
Далее мы будем, как правило рассматривать степенные ряды, записанные в форме						аnхn .
					n 1

<<< < Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 2624 25 26 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.20151.1 Mб126Лекции-История и методология языкознания.doc
#
03.05.2015366.08 Кб155Лекции-ст.doc
#
13.08.201973.73 Кб8Лекции.doc
#
09.11.20184.19 Mб47лекции.doc
#
27.03.2015223.47 Кб36Лекции.docx
#
27.03.20154.74 Mб73ЛЕКЦИИ_ПО_ВЫСШЕЙ_МАТЕМ_Голубев.pdf
#
27.03.2015274.94 Кб7Лекции_по_ИЭ_2.doc
#
11.03.20162.17 Mб28Лекции_тервер.pdf
#
27.03.20153.81 Mб123ЛекцииМО.doc
#
27.03.2015473.6 Кб10Лекционный курс для подготовки (студентам).doc
#
27.03.2015222.15 Кб17Лекция 02 Кинематика криволинейного движения..pdf