Розділ 2. Принципи спеціальної теорії відносності.

Аж до початку XX століття у фізиці панували механістичні уявлення про простір, час, рух (див. частина I, гл. 1), незважаючи на те, що вже була побудована перша фундаментальна теорія (електродинамік Максвела – див. гл. 1) електромагнітної картини світу. Принципово нові уявлення про простір, час, рух виникли тільки в спеціальній теорії відносності (СТВ), побудованої А. Ейнштейном у 1905 році. У СТВ вивчаються високоенергетичні фізичні процеси, зокрема механічний рух тіл з великими швидкостями. При цьому (як і в механіці) дослідження в СТВ проводяться відносно інерціальних систем відліку (ІСВ). Важливо відзначити, що хоча тут ми викладаємо СТВ разом з електродинамікою, однак СТВ є загальфізична теорія, принципи якої відіграють важливу роль і в квантово-польовій картині світу (а не тільки в електромагнітній картині світу). Вивчення ж СТВ разом з електродинамікою доцільно по наступним розуміннях методичного характеру:

1) електродинамічна постійна (див. §6) грає в СТВ роль фундаментальної фізичної постійної (саме усвідомлення фундаментальної ролі цієї постійної лежить в основі всіх "парадоксальних" фізичних наслідків СТВ);

2) саме електродинаміка є приклад першої релятивістськи інваріантною фізичною теорією (тобто теорією, що задовольняє всім принципам СТВ – див. гл. 3);

3) перші експериментальні обґрунтування СТВ одержали саме в області електромагнітних явищ.

§8. Постулати ств. Перетворення Лоренца.

Фундаментальним принципом (постулатом) класичної механіки, у якому концентровано виражені механістичні уявлення про простір, час і рух, є принцип відносності Галілея (ПВГ), що говорить: закони механіки формулюються однаково у всіх ІСВ, пов'язаних між собою перетвореннями Галілея (див. частина I, гл. 1, §…).Зі сказаного ясно, що зміна уявлень про простір, час і рух у новій фізичній теорії (у даному випадку, у СТВ) тісно зв'язана зі зміною принципу відносності теорії (у даному випадку, ПВГ).

Першою фізичною теорією, що суперечить ПВГ, виявилася електродинаміка Максвела. Дійсно, легко переконатися, що рівняння Максвела (5.1) – (5.4) неінваріантні щодо перетворень Галілея, тобто формулюються неоднаково в різних галілеєвських ІСВ. З іншого боку, у заданій ("нерухомої") ІСВ ці рівняння безумовно справедливі. Таким чином, у наявності протиріччя між електродинамікою і ПВГ.

Для усунення протиріччя, що створилося, можна стати на одну з наступних точок зору (в історії фізики були спроби реалізувати кожну з них):

1) справедливі і закони механіки, і закони електродинаміки; ПВГ же справедливий тільки для механічних явищ: електродинаміка не повинна підкоряться ПВГ у силу специфіки електромагнітного поля. Але якщо послідовно дотримуватися цієї точки зору, то потрібно визнати, що за допомогою електромагнітних явищ можна виділити переважну ІСВ, а це суперечить результатам експериментів з електромагнітними хвилями (наприклад, досвіду Майкельсона – Морлі);

2) ПВГ справедливий (без змін) для усіх фізичних явищ (у тому числі і для електромагнітних), тобто всі закони фізики повинні бути інваріантні щодо перетворень Галілея; отже рівняння Максвела (які суперечать ПВГ) необхідно модифікувати (змінити). Ясно, що ця точка зору також приходить до протиріччя з експериментом, тому що рівняння Максвела мають надійне експериментальне підтвердження й обґрунтування;

3) закони електродинаміки (5.1)  (5.4) справедливі у всіх ІСВ, тобто електродинаміка (як і інші закони фізики) також задовольняє деякому принципу відносності, однак цим принципом не може бути ПВГ, справедливість якого обмежена тільки рамками класичної механіки. Таким чином, ця точка зору націлює на пошук таких правил перетворення при переході від однієї ІСВ до іншої (відмінних від перетворення Галілея), щоб виконувалися наступні вимоги:

а) рівняння (5.1)  (5.4) були інваріантні щодо цих перетворень;

б) закони класичної механіки не можуть бути інваріантні щодо цих перетворень, тому закони механіки Ньютона необхідно модифікувати (узагальнити) так, що б ці нові закони механіки вже були б інваріантні щодо нових перетворень координат і часу; при цьому нові шукані перетворення від однієї ІСВ до іншої (які ми надалі назвемо перетвореннями Лоренца) і нові закони механіки (які надалі ми будемо називати релятивістською механікою) повинні бути зв'язані з перетворенням Галілея і законами Ньютона за принципом відповідності (див. частина I, Вступ).

Альберт Ейнштейн у своїх дослідженнях став саме на останню (третю з перерахованих) точку зору, що привело його до швидкої й успішної побудови СТВ. Він першим усвідомив значення факту сталості швидкості поширення електромагнітних хвиль (зокрема світла) у вакуумі і фундаментальне значення принципу відносності для фізичної теорії і поклав тому в основу СТВ наступні два фізичних постулати (постулати СТВ):

1) спеціальний принцип відносності Ейнштейна (ПВЕ):

усі закони фізики формулюються однаково у всіх ІСВ, зв'язаних між собою перетвореннями Лоренца (фізичні закони, що задовольняють ПВЕ, називаються релятивістськи інваріантними законами: математичний запис таких законів не залежить від вибору ІСВ);

2) принцип сталості швидкості світла: швидкість світла у вакуумі не залежить від руху джерела світла, однакова у всіх ІСВ і дорівнює електродинамічної постійний с  2.9979245810⁸ м/сек.

Зауваження 1. ПВЕ і ПВГ розрізняються в двох важливих пунктах:

1) ПВЕ справедливий для усіх фізичних теорій (крім теорій гравітації) у той час як справедливість ПВГ обмежена нерелятивістською механікою (як класичної так і квантової);

2) хоча й у ПВЕ й у ПВГ однаково фундаментальну роль грає поняття ІСВ, однак зв'язок між різними ІСВ здійснюється з допомогою принципу різних перетворень  перетворень Лоренца (утримуючих фундаментальну постійну "с"; безліч таких перетворень в математичному відношенні утворять групу Лоренца) і перетворень Галілея (вони утворять групу Галілея), відповідно.

Зауваження 2. В другому постулаті СТВ найбільш важливим є його перша частина, тобто твердження про незалежність швидкості світла у вакуумі від руху джерела в одній заданій (фіксованої) ИСВ. Саме це твердження суперечить "здоровому глузду", тому що в механіці ми прийшли б до протилежного твердження на основі нерелятивістського закону додавання швидкостей (див. частина I, §…). Друга ж частина постулату, що затверджує однаковість швидкості світла у всіх ІСВ, є простий наслідок ПВЕ і рівнянь Максвела: дійсно, з рівнянь Максвела випливає, що в деякої ІСВ швидкість світла у вакуумі дорівнює "с"; тоді в силу ПВЕ вона повинна дорівнювати "с" і у всіх інших ІСВ (тому що всі ІСВ рівноправні).

Зауваження 3. У СТВ фундаментальну роль грає поняття інерціальної системи відліку. При цьому мається на увазі, що ІСВ завжди можна вводити і використовувати глобально, тобто для вивчення фізичних явищ у будь-яких просторових і часових масштабах. При цьому завжди явно чи неявно ми користаємося еквівалентністю різних точок простору і часу, тобто однорідністю часу й однорідністю і ізотропністю простору. Таким чином, використання у фізичній теорії поняття ІСВ має на увазі використання двох постулатів:

1) час однорідний;

2) простір однорідний і ізотропний.

Помітимо, що тільки спільне використання цих постулатів СТВ дозволяє побудувати СТВ як логічно замкнуту фізичну теорію. У частині III цього курсу ми побачимо, що при врахуванні гравітаційного поля простір утрачає властивості однорідності і ізотропності, а час - властивість однорідності. Це означає, що при вивченні гравітаційних явищ уже неможливо використовувати звичне поняття глобальної ІСВ й отже потрібно істотно змінити (узагальнити) спеціальний ПВЕ (у теорії гравітації відповідний принцип відносності ми будемо називати загальним принципом відносності на противагу спеціальному принципу відносності СТВ; відповідно до цього і Ейнштейнівска теорія гравітації одержала назву загальної теорії відносності на противагу спеціальної теорії відносності, досліджуваної в цій главі).

Виберемо тепер дві ІСВ- і , що рухаються відносно один одного з деякою постійною швидкістю так, як зазначено на малюнку (8.1) (див також частина I, §…).

Розглянемо довільне точкове миттєве фізичне явище (наприклад, миттєвий спалах точкового джерела світла), що надалі ми будемо називати фізичною подією чи просто подією, з погляду систем відліку і . Нехай  позначення координат і часу цієї події в системі , а – у системі . Установимо зв'язок між цими часовими-тимчасовими-просторово-тимчасовими характеристиками події - це й означає знайти правила переходу від системи до системи (і навпаки), тобто установити перетворення Лоренца.

Послідовне використання постулатів СТВ і постулатів про однорідність часу й однорідності ізотропності простору дозволяє вивести (довести) перетворення Лоренца (так як цей доказ приводиться в багатьох посібниках, то ми його тут опускаємо):

(8.1)

Ці перетворення іноді називають умовно "прямими" перетвореннями Лоренца. Іноді для застосувань необхідно знати зворотну залежність від . Вона легко одержується рішенням системи (8.1) відносно :

(8.2)

Перетворення (8.2) умовно можна назвати "зворотними" перетвореннями Лоренца.

При , тобто при малих відносних швидкостях двох ІСВ перетворення Лоренца (8.1) чи (8.2) переходить у відповідні перетворення Галілея. Таким чином, перетворення Галілея  це граничний випадок перетворень Лоренца. Це означає, перетворення Галілея тільки приблизно відбивають реальні часово-просторові відносини фізичного світу, для більш точного опису яких необхідно використовувати перетворення Лоренца і наслідки з них.