6) Абсолютні кінематичні величини в ств.

У СТВ, як ми переконалися вище, багато кінематичних (просторово-часових) величин (такі, наприклад, як відстань між точками , інтервал часу між двома подіями ) які є відносними (залежать від вибору ІСВ). Однак, у СТВ найважливіших значень мають і абсолютні (незалежні від вибору ІСВ) величини. Так, усвідомлення абсолютного характеру швидкості світла у вакуумі з'явилося "наріжним каменем" при побудові СТВ і склало зміст одного з вихідних її постулатів (принципів). Наслідком абсолютності швидкості світла у вакуумі є те, що в СТВ мається специфічна функція координат і часу, що також є абсолютною (тобто залишається незмінною при переході від однієї ІСВ до іншої).

Переходячи до побудови цієї функції, розглянемо дві довільні події, координати і час яких позначимо через і в системі й і в системі . У системах і складемо тепер функцію S₁₂ (відповідно S^/₁₂), квадрат якої визначимо в такий спосіб:

(9.10)

(9.11)

В окремому випадку, коли (тобто коли одне з подій відбувається в момент часу t = 0 на початку координат), позначаємо , , , , і записуємо (9.10) у вигляді:

(9.10^/)

Величина S₁₂ чи S називається просторово-часовим інтервалом. Її значення в СТВ визначається тим, що це є абсолютна величина. Дійсно, безпосереднім обчисленням за допомогою перетворень Лоренца можна переконатися в справедливості рівності:

(9.12)

яке є математичним записом інваріантості просторово-тимчасового інтервалу щодо перетворень Лоренца.

Записуючи квадрат інтервалу між двом нескінченно близькими подіям (ці події розділені нескінченними-малими проміжками часу dt і відстанню ) у вигляді:

(9.13)

виражаємо абсолютність dS рівністю:

чи (9.14)

Завдяки тому, що інтервал є інваріантна (абсолютна) величина, усі можливі інтервали між різними можливими подіями можна розділити також інваріантним образом на три класи (типу):

1) часоподібні інтервали, для яких виконується умова : у цьому випадку і події, що з'єднують цей інтервал, узагалі кажучи, можуть бути зв'язані між собою причинно-наслідковим зв'язком;

2) просторовоподібні інтервали, для яких виконується умова : у цьому випадку і тому одна подія не може бути причиною іншої, оскільки будь-який фізичний сигнал рухається зі швидкістю, що не перевищує швидкість світла, і не може зв'язати ці події;

3) нульові інтервали, для яких виконується умова : у цьому випадку і події можуть бути зв'язані причинно-наслідковим зв'язком, але тільки за допомогою світлових сигналів (чи таких сигналів, швидкість яких дорівнює швидкості світла у вакуумі, наприклад, гравітаційних).

З просторово-тимчасовим інтервалом зв'язана ще одна важлива абсолютна (інваріантна) величина - власний час процесу . Повертаючись до позначень наслідку 3), обчислюємо квадрат інтервалу для процесу в системі , щодо якої процес протікає в одній точці (тобто ): маємо . Далі, користаючись рівністю (9.12), для інтервалу S₁₂ у системі маємо: , звідкіля випливає співвідношення між  і S₁₂ вигляду:

(9.15)

Так як праворуч у формулі (9.15) стоять абсолютні (інваріантні) величини, то власний час  є також абсолютна величина. Це, з іншого боку, ясно з операційного визначення власного часу процесу:  завжди виміряється годинником що покоїться щодо процесу, тому для всіх інших інерціальних спостерігачів є величини задана цим виміром.

Відзначимо тут для подальших посилань, що нескінченний-малий власний час d зв'язано з координатним часом dt формулою:

(9.16)

де - миттєва швидкість тіла, що рухається з довільною змінною швидкістю . У зв'язку з формулою (9.16) необхідно пам'ятати, що вона справедлива для обчислення тільки нескінченно малих проміжків d власного часу, так як тільки протягом нескінченно малого координатного часу dt можна зв'язати з тілом що нерівномірно рухається інерціальну систему . Для обчислення кінцевих проміжків власного часу процесів, зв'язаних з нерівномірно рухаючимся тілом, можна скористатися формулою:

(9.17)

яка одержується інтегруванням (9.16). Формулу ж (9.4) можна використовуватися тільки у випадку тіл що рівномірно рухаються, коли v=V=const

Формула (9.16) легко виводиться зі співвідношенням:

(9.18)

яке є аналог (9.15) для нескінченно малих d і dS. Дійсно, згідно (9.18) маємо:

тобто формула (9.16) доведена.

На цьому ми закінчуємо виклад основних кінематичних наслідків з перетворення Лоренца. Подальший розвиток СТВ зв'язано з удосконаленням її математичного апарата.

§ 10. 4-мірний простір-час Минковского.

У попередніх параграфах ми коротко розглянули ті глибокі (корінні) зміни уявлень про фізичні властивості простору і часу, що досягнуті в рамках СТВ. Головне тут полягає у тому, що СТВ дозволяє усвідомити що:

1) мається глибокий зв'язок між властивостями простору і часу;

2) метричні властивості (такі як проміжки часу, лінійні розміри фізичних об'єктів) простору і часу в загальному випадку є відносними, тобто залежать від вибору ІСВ;

3) існують також просторово-часові характеристики (просторово-часовий інтервал, власний час, швидкість світла у вакуумі) фізичних процесів, що є абсолютними, тобто не залежать від вибору ІСВ.

Усі ці нові фізичні результати були сформульовані математичною мовою 3-мірного евклідового простору і 1-мірного часу, тобто з використання двох різних математичних просторів, ніяк спочатку (тобто до фізичної інтерпретації їх) між собою не зв'язаних. Це, однак, суперечить (не відповідає) самої суті отриманих фізичних результатів, перерахованих вище. Тому, усвідомивши зазначену невідповідність між фізичними властивостями П и Ч і використовуваним при цьому "3-мірним" математичним апаратом, австрійський фізик Герман Минковский у 1908 році поставив своєю метою розробити адекватний фізичним результатам СТВ математичний апарат. Для цього він ввів у розгляд 4-мірний математичний простір, декартові координати якого зв'язані взаємно однозначно з декартовими координатами x, y, z і часом t фізичної події наступними співвідношеннями:

(10.1)

де с – швидкість світла у вакуумі. Чотиривимірний простір, що поєднує фізичний тривимірний простір і час, називається простором-часом Минковского (П-Ч Минковского). Точки П-Ч Минковского називаються світовими точками, а лінії в ньому - світовими лініями. З (10.1) видно, що існує взаємно однозначна відповідність між світовими точками і подіями. Набір чисел (10.1) можна вважати декартовими координатами кінця 4-х-радіуса-вектора ; тут і нижче чотиривимірні вектора, тобто вектора П-Ч Минковского ми будемо позначати стрілкою внизу (наприклад , ). Геометричні (метричні) властивості П-Ч Минковского визначаються (постулюються) тим, що відстань між двома світовими точками визначається просторово-тимчасовим інтервалом (9.10): наприклад, для квадрата довжини чотиривимірного радіуса-вектора постулюється вираження квадрата інтервалу (9.10^/), тобто в позначеннях (10.1) визначаємо:

(10,2)

де - так називаний метричний тензор П-Ч Минковского, який визначений у такий спосіб:

(10.3)

П-Ч Минковского, у якому відстань визначена формулою (10.2) – (10.3), називається псевдоевклідовим простором (він був б евклідовим, якби замість (10.3) був = , де - чотиривимірний символ Кронекера), а система декартових координат у ньому називається евклідовою системою координат. З визначення (10.3) видно, що метричний тензор можна записати у формі матриці :

(10.3^/)

де перший індекс  нумерує рядки, а другий індекс  - стовпці матриці.

Так як S² і, отже, R² є інваріант перетворень Лоренца, те геометрично перетворення Лоренца (8.1) можна представити як перетворення координат П-Ч Минковского при поворотах евклідової системи координат у цьому просторі (у силу того, що при таких поворотах довжина 4-радіуса-вектора не змінюється). Дійсно, у позначеннях (10.1) перетворення Лоренца (8.1) записуються у вигляді:

(10.4)

Представляючи координати матеріальної точки у вигляді матриць з одним стовпцем:

(10.5)

можна переписати (10.4) у матричному вигляді:

, (10.4^/)

де - матриця Лоренца (індекс  нумерує її рядка, а індекс  - її стовпці), явний вид якої, згідно (10.4):

(10.6)

Матриця є псевдоортогональною матрицею, що описує поворот евклідової системи координат у площині . Таким чином, (10.4) є геометрична інтерпретація перетворень Лоренца (8.1) у вигляді перетворень координат матеріальніх точок у П-Ч Минковского при поворотах евклідової системи координат.

Геометрія П-Ч Минковского лежить в основі сучасного математичного апарата СТВ. У П-Ч Минковского можна розвити тензорну алгебру і тензорний аналіз. Ми приведемо тут деякі поняття 4-мірної тензорної алгебри, необхідні для подальшого розвитку СТВ.

4-скаляром у П-Ч Минковского називається така функція координат , що інваріантна щодо перетворень координат (10,4^/), тобто щодо перетворень Лоренца (8.1): . Прикладом 4-скалярів може бути: інтервал , власний час , швидкість світла у вакуумі з ( с  це постійний 4-скаляр).

4-вектором у П-Ч Минковского називається набір чотирьох функцій , що при перетворенні координат (10.4^/) перетворяться так само, як і координати, тобто за правилом:

, (10.7)

Квадрат довжини 4-вектора визначається за аналогією з (10.2) :

(10.8)

Для зручності запису формул можна ввести інший "клас" компонентів чотирьох вектора , що позначаються індексом унизу (А_) і визначаються через компоненти А^ за правилом:

(10.9)

Величини А^ називатися контраваріантними компонентами чотирьохвектора , а А_  коваріантними компонентами чотирьохвектора . Використовуючи (10.9), квадрат 4-вектора (10.8) можна записати у вигляді:

(10.10)

За аналогією з (10.8) і (10.10) визначається скалярний добуток двох чотирьохвекторів і :

(10.11)

З (10.3),(10.9),(10.11) видно, що "опускати" і "піднімати" індекси (тобто переходити від контраваріантних компонентів до коваріантного і навпаки) можна за допомогою метричного тензора по формулах:

(10.12)

якщо визначити контраваріантні компоненти метричного тензора так:

, (10.13)

Стосовно чисто просторових поворотів системи координат (не торкаються вісь часу ) три компоненти чотирьохвектора утворять тривимірний вектор , а тимчасовий компонент являє собою тривимірний скаляр. Тому, при перерахуванні компонентів ми будемо часто писати так:

(10.14)

де ми взяли до уваги (10.9). Відповідно, для квадрата чотирьохвектора (10.10) можна використовувати запис:

(10.15)

Наприклад, для компонента ;  радіуса-вектора можна писати:

(10.16)

де – тривимірний радіус-вектор точки.

Далі, чотирьохтензором другого рангу називається сукупність 16 величин , що при перетвореннях координат (10.4^/) перетворяться як добутки компонентів двох чотирьохвекторов і , тобто за правилом:

, (10.17)

Виражаючи більш точно, є контраваріантні компоненти 4- тензора другого ранта. Можна також використовувати його змішані ( ) і коваріантні ( ) компоненти , які можна одержати з послідовним "опусканням" індексів (див.(10.12)):

(10.18)

Звідси, приймаючи в увагу (10.3), маємо:

;

Стосовно чисто просторових поворотів компонента де утворять 3-мірний тензор другого рангу, компоненти і – це компонента тривимірних векторів і – тривимірний скаляр.

Тензор називається симетричним, якщо , і антисиметричним, якщо (діагональні компоненти антисиметричного тензора дорівнюють нулю; цей тензор має всього шість незалежних компонентів).

З компонентів тензора можна утворювати скаляр, якщо взяти наступну суму (див.(10.18)):

(10.19)

Ця сума називається слідом тензора а операція, за допомогою якої вона отримана, називається спрощенням тензора. Узагалі, спростити тензор

довільного рангу по індексах, α і μ наприклад, це значить – узяти суму ; у результаті виходить тензор, ранг якого на дві одиниці менше (спрощувати можна тільки по індексах, один із яких – верхній, а другий нижній).

Одиничним ; 4-тензором називається тензор , що має властивість:

, (10.20)

де - довільний 4-вектор. З (10.20) видно, що:

(10.21)

отже .

На цьому тут ми обмежимося у викладі математичного апарата

П-Ч Минковского і приведемо кілька фізичних прикладів 4-векторів.

Чотирьохвектор швидкості (по аналоги з 3-вектором швидкості ) визначається так:

(10.22)

де . З (10.22) видно, що компоненти 4-швидкості є:

(10.23)

Компоненти 4-швидкості (на відміну від компонентів 3-швидкості) між собою залежні, тому що задовольняють додатковій умові:

, (10.24)

у справедливості якого легко переконатися або безпосереднім обчисленням, або розділивши на вираження для квадрата інтервалу. Співвідношення (10.24) означає, що квадрат чотирьохшвидкості є постійний чотирьохскаляр, тобто величина, однакова у всіх ІСВ.

Чотирьохвектор прискорення (за аналогією зі звичайним трьохвектором прискорення) визначається співвідношенням

(10.25)

Диференціюючи за власним часом ліву і праву частини співвідношення (10.24), одержуємо:

(10.26)

відкіля видно, що чотирьохвектор швидкості і чотирьохвектор прискорення перпендикулярні один одному в П-Ч Минковского.

Інші приклади чотирьохвекторів і чотирьохтензорів у П-Ч Минковского ми приведемо в наступних параграфах.

На закінчення цього параграфа зробимо одне дуже важливе зауваження, що переконливо демонструє переваги використання математичного апарата 4-мірного П-Ч Минковского при пошуку нових фізичних законів, що задовольняють принципам СТВ.

Представляючи фізичні величини у виді чотирьохвекторів П-Ч Минковского визначеного рангу, запишемо деякий фізичний закон у чотиривимірній формі:

, (10.27)

тобто у вигляді рівності двох чотирьох тензорів однакового рангу з однаковим числом контраваріантних і коваріантних індексів. При поворотах евклідової системи координат у П-Ч Минковского (тобто, при переході від однієї ІСВ до іншої за допомогою перетворень Лоренца) ліва і права частини (10.27) будуть перетворюватися однаково, тобто вид рівняння (10.27) буде однаковим у всіх ІСВ. Таким чином, закони фізики, що записані в чотиривимірній формі (10.27), є релятивістськи інваріантними. Для перевірки релятивістської інваріантості законів фізики, записаних у тривимірній формі (наприклад, рівнянь Максвела), досить спробувати представити їх у чотиривимірній формі (10.27).