§3. Узагальнення дослідних даних про магнітне поле.

У §2 ми узагальнили дослідні дані 1) – 4), приведені наприкінці §1, про електричне поле. У даному параграфі ми сформулюємо теоретичне узагальнення дослідних даних 5) – 9) (див. кінець. §1) про магнітне поле, тобто узагальнимо наступні експериментальні факти і закони:

5) факт існування магнітного поля навколо зарядів, що рухаються, (електричних струмів);

6) закон Ампера;

7) Закон Біо – Савара – Лапласа;

8) принцип суперпозиції магнітних полів;

9) факт замкнутості магнітних силових ліній.

Нехай у деякій області простору існує магнітне поле. Помістимо в довільну точку поля так називаний елемент струму , тобто нескінченно малий елемент провідника , по якому протікає електричний струм із силою струму I (напрямок елемента провідника вибираємо так, щоб він збігався з напрямком протікання струму). Силова дія магнітного поля на електричний струм кількісно описується наступним експериментальним законом Ампера (1820р.):

сила , що діє з боку магнітного поля на елемент струму пропорційна векторному добутку на вектор :

СО: (3.1)

де вектор залежить тільки від магнітного поля в точці розміщення елемента струму. Вектор є основною характеристикою магнітного поля і називається вектором магнітної індукції. Вимірюючи , I, по формулі (3.1) можна визначити в будь-якій точці (точніше, у нескінченно малій області) простору. Тому закон (3.1) можна вважати визначенням подібно тому, як співвідношення (2.1) є визначенням напруженості електричного поля. Таким чином, подібно тому, як електричне поле можна вивчати за допомогою пробного заряду, магнітне поле згідно (3.1) можна вивчати за допомогою елемента струму , що у цьому випадку можна назвати пробним струмом.

Механізм зумовлювання породження магнітного поля електричними струмами визначається експериментальним законом Біо – Савара – Лапласа (1820р.):

елемент струму розташований у точці , обумовлює магнітне поле, індукція якого в довільній точці визначається співвідношенням:

СО: (3.2)

де - коефіцієнт, що залежить від вибору системи одиниць СО, а постійна

(3.3)

називається магнітної постійний. Якщо елемент струму розташований на початку координат , то (3.2) приймає вигляд:

(3.2^/)

Для розрахунку магнітних полів, що обумовлюються довільним розподілом струмів у просторі необхідно додатково до (3.2) використовувати експериментальний принцип суперпозиції магнітних полів, що для безперервного розподілу струмів записується у вигляді:

(3.4)

де інтегрування ведеться по всій області простору, де відмінна від нуля густина струму;

для системи лінійних провідників із силами струмів , принцип суперпозиції має форму:

(3.4^/)

де - індукція, обумовлена i-тим провідником зі струмом I_i у точці спостереження .

Спільне застосування (3.2) і (3.4) дозволяє в принципі розраховувати магнітні поля, обумовлені будь-яким розподілом струмів. Наприклад, для лінійного провідника з постійним струмом I маємо:

. (3.5)

Однак формули типу (3.5) практично зручні тільки для деяких окремих випадків розподілу струмів, що мають досить високу геометричну симетрією, що дає можливість провести інтегрування в явному вигляді (наприклад, прямолінійний провідник зі струмом, круговий струм і т.д.). У довільному ж випадку більш доцільно одержати інші наслідки (3.2) і (3.4).

Для цього введемо поняття нової інтегральної характеристики магнітного поля – поняття циркуляції Ц вектора магнітної індукції вздовж довільного замкнутого контуру L, що визначається формулою:

(3.6)

Поняття циркуляції вектора дозволяє сформулювати для постійного в часі розподілу струмів так названий закон повного струму: циркуляція вектора уздовж довільного замкнутого контуру L пропорційна повній силі струму через довільну поверхню S, що обмежується контуром L:

, (3.7)

де  вектор густини струму: сила струму I через S дорівнює потоку вектора через S, тобто . Відзначимо що і контур L, і поверхня S у (3.7)  це подумки виділені нами в просторі геометричні об'єкти. Не проводячи докладного доказу (3.7), укажемо тільки схему (послідовність) цього доказу:

1) застосовуючи (3.2) і (3.4), тобто фактично формулу (3.5), обчислюємо для нескінченного прямолінійного провідника з постійним струмом I; одержуємо для результат:

(3.8)

де R – відстань від точки спостереження до провідника;

2) використовуючи (3.8) обчислюємо циркуляцію вектора уздовж довільного контуру L, що охоплює тільки один провідник зі струмом I; одержуємо:

; (3.9)

струм, що не охоплюється контуром L, дає нульовий внесок у циркуляцію уздовж L;

3) За допомогою принципу суперпозиції (3.4^/) узагальнюємо (3.9) на систему провідників зі струмами ,…:

, (3...10)

де при підсумовуванні в правій частині (3.10) I_i береться зі знаком "+", якщо напрямок I_i зв'язаний з обраним нами напрямком обходу L при інтегруванні в лівій частині (3.10) правилом правого гвинта; у протилежному випадку I_i береться зі знаком "-";

4) роблячи в (3.10) перехід до безперервного розподілу струмів ( ), приходимо до остаточного результату (3.7).

Приведена схема доказу (3.7) дозволяє зробити наступний висновок: закон повного струму (3.7) є прямим наслідком експериментальних законів

Біо – Савара  Лапласа і принципу суперпозиції, тому він сам є експериментальним законом, що отриманий шляхом аналізу дослідних даних в області магнітостатики, тобто (3.7) справедливий для постійних магнітних полів, обумовлених постійними струмами.

Тепер зробимо важливе теоретичне узагальнення шляхом визнання справедливості наступної гіпотези: будемо вважати, що співвідношення (3.7) між магнітними полями й електричними струмами справедливо і для перемінних струмів. Подальше узагальнення цієї гіпотези ми приведемо в §4.

Вивчення магнітного поля магнітів і струмів показало, що силові лінії магнітного поля (лінії магнітної індукції) завжди замкнуті. Це означає, що скільки силових ліній входить у довільну замкнуту поверхню, стільки ж їх і виходить. Тому ясно, що потік вектора магнітної індукції через довільну замкнуту поверхню дорівнює нулю:

(3.11)

Інтегральне співвідношення (3.11) являє собою математичний запис дослідного факту замкнутості магнітних силових ліній і є аналогом теореми Г - О для електростатичного поля. Співвідношення (3.11) легко переписати в диференціальній формі. Дійсно, застосовуючи до лівої частини (3.11) математичну теорему Г - О (2.19), одержуємо:

,

відкіля в наслідок довільності об'єму V (що є наслідком довільності поверхні S, що охоплює об'єм V) одержуємо:

, (3.12)

тобто запис емпіричного факту про замкнутість ліній у диференціальній формі.

Тепер ми знову робимо теоретичне узагальнення, постулюючи, що (3.11) і (3.12) справедливі не тільки для постійних магнітних полів, але і для довільних змінних полів. Цим постулатом (цією гіпотезою) ми зводимо емпіричні співвідношення (3.11) і (3.12) у ранг теоретичних законів класичної електродинаміки.

Зауваження 1. Факт замкнутості магнітних силових ліній можна еквівалентно сформулювати в інших термінах. Дійсно, якби в Природі існували де-небудь розімкнуті лінії , то вони повинні були б починатися і закінчуватися (за аналогією з лініями ) на магнітних зарядах (магнітних монополях). Іншими словами, гіпотеза незамкнутості ліній еквівалентна гіпотезі існування магнітних монополів. Тоді, позначаючи через _магн густину магнітних монополів, ми замість (3.12) мали би співвідношення , аналогічне співвідношенню (2.20) для електричних полів. Тому, результат (3.12), який після узагальнення має статус теоретичного закону електродинаміки, можна сформулювати так: у Природі не існує магнітних монополів. Цей постулат підтверджений величезною кількістю досвідів як у макроскопічній області, так і в мікросвіті, тому в цьому курсі рівняння (3.12) ми будемо вважати фундаментальним законом.

Зауваження 2. Сказане в зауваженні 1 не означає, що гіпотеза про існування магнітних монополів не має права на існування. Хоча інтенсивні експериментальні пошуки не знайшли дотепер магнітних монополів у величезних просторових масштабах від 10^-17 м до 10¹⁰ світлового років, це однак не означає, що їх ніде дійсно немає. Магнітні монополі можуть, наприклад, існувати усередині "елементарних" часток (наприклад, у вигляді складових компонентів кварків і лептонів). Теоретичні моделі об'єднання фундаментальних взаємодій у мікросвіті, розроблювальні теоретиками в даний час, дуже часто ведуть до визнання існування магнітних зарядів у дуже малих просторово-тимчасових масштабах. Іншими словами, у даний час не існує вагомих теоретичних аргументів "проти" магнітних монополів. Питання залишається відкритим. Тому деякі теоретики зараз розробляють і класичну електродинаміку з магнітними зарядами. Однак тут важливо відзначити, що якщо навіть у майбутньому магнітні монополі і будуть виявлені, то електродинаміка, що тут викладається без магнітних зарядів не утратить свого важливого значення для величезної (практично важливої) області просторово-тимчасових масштабів.