§6. Електромагнітні потенціали.

При записі рівнянь електродинаміки вакууму (5.1) – (5.4) у §5 були використані характеристики електромагнітного поля і що мають безпосередній фізичний зміст, тобто експериментально вимірні. У принципі цих характеристик цілком достатньо для рішення будь-якої електродинамічної задачі у вакуумі. Однак рішення багатьох питань електродинаміки (наприклад, у теорії випромінювання електромагнітних хвиль) значно спрощується, якщо ввести в розгляд нові, допоміжні характеристики електромагнітного поля – так названі електромагнітні потенціали, основна перевага яких полягає в тому, що вони підкоряються диференціальним рівнянням другого порядку, для яких розроблені потужні математичні методи їхнього інтегрування.

Нові характеристики електромагнітного поля зручно ввести на основі рівнянь Максвела (5.1) – (5.4). Оскільки div rot  0, то рівняння (5.4) автоматично задовольняється, якщо замість магнітної індукції ввести інше векторне поле , визначивши його співвідношенням:

. (6.1)

Векторне поле називається векторним потенціалом електромагнітного поля. Підставляючи (6.1) у (5.2), приводимо останнє до вигляду:

З урахуванням тотожності rot grad  0, це рівняння автоматично задовольняється, якщо покласти:

(знак "-" принципового значення не має; ми його записали, випливаючи історичним традиціям викладу електродинаміки), тобто якщо визначити скалярну функцію співвідношенням

(6.2)

Скалярне поле називається скалярним потенціалом електромагнітного поля.

Співвідношення (6.1) – (6.2) визначають електромагнітні потенціали неоднозначно. Дійсно, якщо від потенціалів і перейти до інших потенціалів і за допомогою перетворень:

(6.3)

де  довільна функція, то електромагнітне поле не змінюється:

Перетворення (6.3) називається каліброваним перетворенням, а інваріантість електромагнітних полів щодо цих перетворень називається каліброваною інваріантістю. Неоднозначністю (6.3) потенціалів можна скористатися, щоб довизначити (калібрувати) їх, наклавши на них деяку додаткову (калібровану) умову. Найчастіше на потенціали накладають додаткову (калібровану) умову:

, (6.4)

яке називається каліброваною умовою Лоренца чи просто калібруванням Лоренца. Покажемо, що завдяки неоднозначності вибору потенціалів для довільного електромагнітного поля їх завжди можна вибрати так, щоб вони задовольняли умові Лоренца. Допустимо, що ми знайшли потенціали і , що описують досліджуване електромагнітне поле, але не задовольняють умові (6.4). Підберемо таку функцію f, щоб нові потенціали і цій умові задовольняли, тобто зажадаємо, щоб виконувалася умова:

Підставляючи сюди (6.3), знаходимо, рівняння для шуканої функції f:

, (6.5)

де   div grad  оператор Лапласа. Але рівняння (6.5) має вигляд рівняння Д’аламбера і, як відомо, завжди має розв’язок. Таким чином, завжди можна підібрати таку f, щоб електромагнітні потенціали задовольняли умові калібрування Лоренца, тому надалі, якщо не обговорене зворотне, ми завжди будемо вважати, що умова (6.4) виконується.

Зауваження 1. Виявляється, що навіть при виконанні умови Лоренца (6.4) потенціали ще не визначаються однозначно. Справді, якщо взяти таку функцію f, що задовольняє хвильовому рівнянню:

(6.6)

то перетворення (6.3) призведуть до нових потенціалів і , які, як це випливає з (6.5), задовольняють умові (6.4) одночасно з потенціалами і .

Зауваження 2. Електромагнітні потенціали являють приклад, як говорять, величин що не спостерігаються, які часто й істотно використовуються в аналітичному апараті сучасної теоретичної фізики (ще одним прикладом таких величин є хвильова функція в КМ).

Неспостерегливість (незмірність мовою експериментальної фізики) потенціалів зв'язана з їхньою неоднозначністю. Відзначимо тут, що популярні серед деяких фізиків-теоретиків методологічні установки, спрямовані на виключення з фізичних теорій величин, що не спостерігаються, і прагнення використовувати величин, що тільки спостерігаються, виявилися безперспективними: сучасна теоретична фізика не може успішно розвиватися без використання величин, що не спостерігаються.

Одержимо тепер рівняння для електромагнітних потенціалів. Для цього підставимо (6.1) і (6.2) у ще не використані нами рівняння 1 і 3 і після нескладних перетворень одержимо:

(6.7)

(6.8)

З урахуванням калібрування Лоренца (6.4) рівняння для потенціалів (6.7) і (6.8) здобувають наступний остаточний вигляд:

(6.9)

(6.10)

Ці рівняння разом з визначеннями (6.1) – (6.2) еквівалентні рівнянням Максвела (5.1) – (5.4). Вони називаються неоднорідними хвильовими чи рівняннями Д’аламбера. Серед їхніх розв’язків потрібно вибрати такі, котрі задовольняють умові Лоренца (6.4). Таким чином, замість восьми (скалярних) рівнянь Максвела ми маємо чотири (скалярних) рівняння для потенціалів, математичні методи розв’язки яких розроблені значно краще, ніж для рівнянь (5.1) – (5.4).

Зауваження. Елементарний аналіз постійних ­ ₀ і ₀ показує, що постійна

(6.11)

має розмірність швидкості і її чисельне значення дорівнює: 300 000 км/с

Постійна С називається електродинамічної постійний. З врахуванням (6.11) рівняння (6.9) – (6.10) для електромагнітних потенціалів можна записати у вигляді:

, (6.9^/)

, (6.10^/)

чи в символічному вигляді:

(6.9^//)

(6.10^//)

де диференціальний оператор:

(6.13)

називається оператором Д’аламбера. Умова Лоренца (6.4) з врахуванням (6.11) записується у вигляді:

(6.4^/)

Відомо, що однорідні хвильові рівняння описують поширення електромагнітних полів у вакуумі зі швидкістю, рівної с. Тому електродинамічна постійна с набуває фізичного сенсу швидкості електромагнітних хвиль у вакуумі. Так як світло має електромагнітну природу, то с можна вважати і швидкістю світла у вакуумі.