§4. Узагальнення дослідних даних про взаємозв'язки між електричними і магнітними полями.

Узагальнимо тепер дослідні факти і закони 10) і 11), перераховані наприкінці §1.

Експерименти зі змінними магнітними полями (які створювалися за допомогою механічних рухів постійних магнітів) дозволили Фарадею в 1831 році сформулювати наступний експериментальний закон електромагнітної індукції: при всякій зміні магнітного потоку (потоку вектора) Ф через контур замкнутого провідника L в останньому виникає індукційний струм, тобто електрорушійна сила індукції , величина якої пропорційна швидкості зміни Ф:

. (4.1)

Велика заслуга Максвела полягає в глибокому теоретичному осмисленні й узагальненні явища електромагнітної індукції і відповідного цьому явищу емпіричного закону (4.1). Максвел сформулював наступну сміливу фізичну гіпотезу: змінне в часі магнітне поле обумовлює навколо себе вихрове електричне поле зі замкнутими лініями (можливість існування замкнутих ліній - найбільше припущення Максвела); це вихрове електричне поле і є причиною виникнення в провіднику електрорушійної сили і, отже, індукційного струму (носіями якого є вільні заряди провідника, тобто електрони за сучасними представленнями). Таким чином, відповідно до Максвела, провідник є тільки емпіричним індикатором вихрового електричного поля, тому для одержання з (4.1) теоретичного закону на основі гіпотези Максвела емпіричне співвідношення (4.1) необхідно переформулювати так, щоб "звільнитися" у ньому від речовинного індикатора – провідника струму.

Для цього нагадаємо, що , є за визначенням, робота електричного поля по переміщенню одиничного позитивного заряду уздовж замкнутого провідника:

, (4.2)

тобто в математичному смислі є циркуляція вектора уздовж замкнутого контуру L.

Магнітний потік (потік вектора ) Ф, як відомо з §3, визначається формулою:

, (4.3)

де інтегрування проводиться по поверхні S, обмеженої замкнутим провідником зі струмом (на відміну від (3.11), S тут не замкнута поверхня і Ф ≠ 0).

Підставляючи визначення (4.2) (4.3) у (4.1), одержуємо:

(4.1^/)

У випадку нерухомого (але довільного за формою) провідника похідну за часом і інтеграл по поверхні (також нерухомої, але довільної за формою) можна поміняти місцями. У результаті замість (4.1^/) одержуємо співвідношення:

, (4.4)

яке вже не залежить від параметрів провідника. Тому, відповідно до гіпотези Максвела, L у (4.4) можна вважати не провідником, а довільним, подумки виділеним у просторі, замкнутим контуром, а S – подумки виділеною довільною поверхнею, обмеженою L. Це припущення означає, що (після узагальнення на випадок довільних полів) співвідношення (4.4) тепер являє собою теоретичний закон, відповідно до якого змінне магнітне поле обумовлює вихрове електричне поле.

Диференціальну форму запису (4.4) одержимо, використовуючи теорему Стокса з векторного аналізу: для довільного безперервного векторного поля справедливе співвідношення:

(4.5)

де S є довільна поверхня, обмежена замкнутим контуром L. Застосовуючи (4.5) до лівої частини (4.4), одержуємо:

,

відкіля в силу довільності S маємо:

. (4.6)

Геометрична ілюстрація співвідношень (4.6) і (4.4) за допомогою силових ліній зображена на мал. (4.1), де прямі лінії зображують наростаюче в часі магнітне поле, а замкнуті лінії – це линії вихрового електричного поля, обумовленого магнітним полем.

Надалі ми будемо вважати співвідношення (4.6) і (4.4) справедливими для довільного електромагнітного поля у вакуумі, тобто, що має статус одного з основних законів електродинаміки в диференціальній і інтегральній формах, відповідно.

Проводячи експерименти зі змінними електричними полями досить високої частоти ( 10⁵ Гц, тобто це область радіочастот) можна знайти явище, зворотне (у певному змісті) явищу електромагнітної індукції, а саме наступне: змінне електричне поле обумовлює (створює) вихрове магнітне поле. У цьому можна переконатися вивчаючи, наприклад, магнітне поле між пластинами зарядженого конденсатора, замкнувши їхнім провідником. По провіднику, що з'єднує пластини, пройде короткочасний струм, сила якого буде зменшуватися до нуля, у міру зменшення зарядів пластин. Цей струм не буде замкнутим, тому що між пластинами немає руху зарядів. Однак виявляється, що й усередині конденсатора виникає магнітне поле, що може бути обумовлено тільки змінним (таким, що зменшується по величині) електричним полем конденсатора. Кількісне експериментальне вивчення цього явища в залежності від швидкості зміни електричного (тобто, від ) дозволяє прийти до наступного висновку: змінне електричне поле обумовлює таке магнітне, яке створив би електричний струм із густиною:

(4.7)

а так як електричний струм зв'язаний з обумовленим ним магнітним полем законом (3.7), то сказане означає, що і змінне електричне поле зв'язане з обумовленим ним магнітним полем аналогічним законом, а саме (див. (3.7) і (4.7)):

(4.8)

Застосовуючи до лівої частини (4.8) теорему Стокса (4.5), маємо:

звідкіля в силу довільності S одержуємо запис (4.8) у диференціальній формі:

(4.9)

Геометрична ілюстрація співвідношень (4.9) і (4.8) за допомогою силових ліній зображена на мал. (4.2), де прямі лінії зображують наростаюче в часі електричне поле, а замкнуті лінії – це лінії магнітного поля, обумовленого змінним електричним полем (порівняємо з мал. (4.1)).

Малюнки (4.1) і (4.2) наочно ілюструють аналогічно в законах (4.6) і (4.9) взаємозв'язок між електричними і магнітними полями. Саме наявність цього взаємозв'язку (взаємного зумовлювання) і є основою механізму руху (поширення) електромагнітних полів, що не вимагає для себе ніякого речовинного носія.

Зауваження 1. Величину , визначену формулою (4.7), називають густиною струму зміщення. Ця назва, уведена Максвелом, виникла тому, що струм зміщення обумовлює магнітне поле по такому ж закону, як і струм провідності; але фізичні процеси, що описуються цими струмами, істотно різні: струм провідності зв'язаний з рухом зарядів, а струм зміщення – зі зміною в часі напруженості електричного поля. Термін "зміщення" Максвел ужив невдало, зв'язуючи його з невірними механістичними уявленням про ефір як носій електромагнітних полів. Незважаючи на сказане, термінологія Максвела повсюдно використовується в сучасній фізичній літературі і змінювати її було би недоцільно.

Зауваження 2. З технічних причин у часи Максвела струм зміщення (і закон (4.8) ) не міг бути відкритий експериментально. Тому Максвел міг його тільки постулювати, що він і зробив, виходячи з аналогії з законом електромагнітної індукції і розумінь симетрії між електричним і магнітним полями – у цьому складається його друге найбільше припущення (і заслуга)! Однак у ХХ сторіччі наявність струмів зміщення ми повинні сприймати як добре вивчений емпіричний факт. При цьому і приводяться іноді в навчальній літературі так названі "докази" формули (4.7) методологічно не виправдані (у кращому випадку вони можуть служити тільки "навірними розуміннями" що показують вигляд (4.7)). У дійсному курсі наявність струмів зміщення ми вважаємо емпіричним фактом, а співвідношення (4.8) – експериментальним законом. Надалі, узагальнюючи, ми зводимо (4.8) (і отже, (4.9) ) у ранг теоретичних законів, тобто постулюємо їхню справедливість для довільних електромагнітних полів.

В тому загальному випадку, коли в наявності маються і заряди, що рухаються, і змінне електричне поле, то обумовлене ними магнітне поле описується законом:

, (4.10)

який поєднує результати (3.7) і (4.8). Іноді співвідношення (4.10) називають узагальненим законом повного струму.

Застосовуючи до лівої частини (4.10) теорему Стокса (4.5), маємо:

,

відкіля з урахуванням довільності вибору S випливає запис узагальненого закону повного струму в диференціальній формі:

(4.11)

Ми вважаємо (4.11) теоретичним законом електродинаміки, справедливим для довільних електромагнітних полів.