1.2. Основные понятия и определения математического моделирования

Математическое моделирование может трактоваться как прикладная наука о методах формулирования экономических процессов и явлений, протекающих в производстве.

Математическая модель представляет собой уравнение или систему уравнений, описывающие взаимосвязи, происходящие в оригинале. Предметом изучения курса математического моделирования являются математические методы, применяемые при моделировании процессов и экономических явлений.

Математическая модель задачи должна отвечать следующим требованиям:

1) соответствовать определенному алгоритму решения;

2) учитывать конструктивные особенности основной матрицы экономико-математической задачи;

3) правильно отражать содержание экономической задачи, все условия, которые нужно учесть при составлении программы решения.

Уже накопилось большое количество разнообразных экономико-математических моделей, различающихся по многим признакам. Некоторые авторы (3, 8) отмечают, что широкое применение в экономике нашли экономико-статистические и экономико-математические модели. Схематично эта классификация моделей представлена на рис.2.

		Э кономические модели
	Экономико-статистические							Экономико-математические
			Детерминистические												Стохастические
Балансовые							Оптимизационные
					Линейные				Нелинейные

Рис. 2 Классификация моделей

Экономико-математическая модель (ЭММ) представляет собой достаточно сложную конструкцию. При разработке ЭММ принимают во внимание наиболее значимые, существенные характеристики, а детали второстепенного характера опускаются.

По определению академика В.С.Немчинова экономико-математическая модель представляет собой концентрированное выражение наиболее существенных взаимосвязей и закономерностей поведения управляемой системы в математической форме.

Экономико-статистическая модель представляет собой корреляционное уравнение связи зависимого и нескольких независимых факторов, определяющих количественное значение зависимого фактора.

К детерминистическим относятся модели, в которых результат полностью и однозначно определяется набором независимых переменных. Эти модели строятся на основе правил линейной алгебры и представляют собой системы уравнений, совместно решаемых для получения результатов. Балансовые модели позволяют весьма подробно описать структуру и условия функционирования экономических систем и по характеру могут быть статическими и динамическими. Наиболее обширный класс моделей, применяющихся на практике - оптимизационные основанные на методах математического программирования, и в первую очередь линейные оптимизационные модели, базирующиеся на теории линейного программирования.

Стохастические модели описывают случайные процессы, подчиняющиеся законам теории вероятности. В этих моделях либо исходные данные, либо искомый результат выражаются не определенными величинами, а в виде некоторой статистической функции распределения этих величин.

Разработка ЭММ осуществляется поэтапно в определенной последовательности. Схематически этот процесс представлен на рис.3.

1 этап - Изучение экономического явления по литературным источникам и в натуре и выделение его основных свойств, признаков и зависимостей характеризующих его. На этом этапе необходимо выяснить внешние и внутренние связи этого процесса, какие требуются ресурсы, с помощью каких технологических способов ресурсы преобразуются в продукцию.

2 этап - Постановка задачи и обоснование критерия оптимальности.

Постановка задачи означает качественный анализ экономического процесса с целью выявления неизвестных параметров, значение которых необходимо определить. При этом важное значение отводится определению конечной цели решения задачи – выбору критерия оптимальности. Он должен отражать как общую цель развития сельскохозяйственного производства, так и конкретное содержание исследуемого экономического явления. Важными сторонами критерия оптимальности являются качественная определенность и количественная измеримость.

При краткосрочном планировании производственно-отраслевой структуры предприятия в качестве основного критерия сравнения и выбора отдельных отраслей или технологий используется показатель экономической эффективности – это маржинальный доход. Этот показатель рассчитывается как разница между выручкой и прямыми переменными затратами.

1. Изучение экономического явления по литературным источникам и в натуре и выделение его основных свойств, признаков и зависимостей характеризующих его.

2. Постановка задачи и обоснование критерия оптимальности.

3. Выбор математического метода решения задачи и базовой математической модели, определение переменных и ограничений задачи.

4. Сбор исходной информации и разработка технико-экономических коэффициентов.

5. Разработка развернутой (матричной) модели экономико-математической задачи.

6. Решение задачи на ЭВМ, анализ результатов, корректировка модели, решение задачи с учетом сделанных коррективов.

7.Экономический анализ выполненных расчетов и выбор оптимального варианта плана.

Рис.3 Этапы моделирования

3 этап - Выбор математического метода решения задачи и базовой математической модели, определение переменных и ограничений задачи.

Данный этап моделирования является обязательным, если ЭММ разрабатывается впервые, когда очень важно определить взаимосвязи исследуемого явления, логику взаимодействия отдельных элементов, установить, каким математическим методом может быть решена эта модель, определить возможность информационного обеспечения модели.

Если же необходимо найти оптимальное решение экономической задачи, для которой уже создана математическая модель и известны методы ее решения, то этот этап можно пропустить и перейти к следующему.

Все рассматриваемые в дальнейшем задачи мы будем решать методами линейного программирования (в частности симплексным методом) по готовой программе и используя готовые оптимизационные модели, записанные в структурной форме.

Базовая структурная ЭММ задач, решаемых симплекс-методом, имеет вид.

Целевая функция достигает экстремума

_n

Z _{max (min)}=S C_jX_j ,

^j=1

при условии выполнения трех ограничений:

1)по использованию производственных ресурсов - затраты i -ого ресурса на производство j - ой продукции не будут превышать наличного объема этого ресурса;

_n

S a_ijx_j£ b_i iÎI₁

^j=1

где

Xj - основная переменная

a_ij - норма затрат производственного ресурса i -го вида на единицу размерности j – ой

b_i - объем ресурса

2) по заданному объему выполнения работ или производства продукции - объем производства продукции i -ого вида в расчете на единицу j-ой переменной будет не меньше гарантированного объема;

_n

S v_ijx_j ³ Q_i iÎI₂ ,

^j=1

где

v_ij - выход продукции i -го вида с единицы размерности j- ой переменной ( урожайность , продуктивность) .

Q_i - гарантированный объем производства i -ого вида продукции .

3) условие неотрицательности переменных - поскольку искомые величины являются реальными положительными величинами (посевная площадь, поголовье, объем кормов и т.д.)

X_j ³0 j=1,...,n,

4 этап - Сбор исходной информации и разработка технико-экономических коэффициентов. Этот этап является весьма ответственным. В зависимости от задач и объекта, по которому эта задача должна быть построена, необходимо определить характер и объем информации, источники ее сбора и методы обработки.

Основные требования, предъявляемые к исходной информации – высокое качество, достаточное количество, соответствующая размерность, достоверность и надежность, своевременность и доступность.

Источниками информации служат годовые отчеты, технологические карты, данные первичного учета, различные нормативные справочники и т.д. Если исходные данные будут недостаточно полными и неточными, то результаты решения задачи могут быть искажены.

Характер исходной информации связан с поставленной планово-экономической проблемой. Если ее решение относится к перспективе, то применяется нормативная, а при решении текущих проблем - нормативная и отчетная информация.

Для любой модели технико-экономические характеристики объекта или процесса формируются в виде технико-экономических коэффициентов a_ij, коэффициентов целевой функции C_j и констант или объемных показателей ресурсов или продуктов b_i . Эти коэффициенты представляют собой основную часть входной информации и их можно подразделить на три группы:

• удельные нормативы затрат или выхода продукции (рассчитываются на основе нормативных справочников, технологических карт, с использованием методов математической статистики и другими способами);

• коэффициенты пропорциональности (коэффициенты при переменных в тех ограничениях, которые предусматривают определенные соотношения между зависимыми переменными - по структуре посевов , по поголовью половозрастных групп животных и т.д.);

• коэффициенты связи (когда специально обусловливают зависимость переменной X_j от объемного показателя в ограничении (b_i), например :площадь посева овса не более 100 га).

При подготовке входной информации для ЭММ могут быть использованы производственные функции - математически выраженные связи и зависимости результатов производства от затрат производственных факторов (урожайность культур - от доз внесения удобрений; продуктивность коров - от количества потребляемого корма и т.д. ). Помимо прогнозирования уровня результативного признака , производственные функции могут быть использованы для определения экономических оптимумов , коэффициентов эффективности и взаимозаменяемости факторов

Производственные функции могут быть представлены следующими способами:

1.Табличный способ - в виде таблицы, где содержатся ряд значений аргумента и соответствующие значения функции. Этот способ удобен, когда изучают зависимости по опытам и наблюдениям.

2. Графический способ - по графику непосредственно выявляются основные свойства представленной функции и весь ход ее изменения.

Преимущество - наглядность.

Недостаток - иногда трудно точно определить значения зависимой переменной y при данных значениях признака x.

3. Аналитический способ - наиболее распространенный - производственная функция представляет собой математическую модель многофакторного экономического процесса, которая позволяет исчислить ожидаемое значение результата производства в зависимости от действующих на него факторов.

В отличие от ЭММ оптимального программирования, состоящих из ряда уравнений и неравенств, модель производственной функции в общем виде в большинстве случаев описывается одним уравнением, где результат производства представляется как функция n независимых -факторов:

X(производственный результат)= f(X₁,X₂,...,X_n) , где

X₁,X₂,...,X_n - факторы производства.

В процессе исследования обычно находят конкретный вид алгебраического уравнения , которое более или менее соответствовало бы исследуемым взаимосвязям , чаще всего - это уравнения регрессии.

Преимущества по сравнению с предыдущими способами:

-позволяет проанализировать влияние одного или нескольких факторов на производственный результат;

- позволяет определить с помощью приемов математического анализа различные коэффициенты, характеризующие изменения в процессе производства.

В связи с тем, что производственные функции представляют корреляционные связи, их обычно определяют путем обработки массовых данных методом корреляции.

5 этап - Разработка развернутой (матричной) модели экономико-математической задачи.

Модель можно записать развернуто в виде системы неравенств и уравнений, т.е. в числовом виде. Однако при достаточно большом числе переменных и ограничений такая запись громоздка, уменьшает обозримость и затрудняет чтение.

Основой развернутой модели является матрица - прямоугольная таблица, в которой записывается развернутая модель задачи в удобной и сокращенной форме.

В матрице по строкам записываются ограничения, а по столбцам - переменные. Все члены одного ограничения должны иметь одну единицу измерения.

Переменные матрицы подразделяются на основные, дополнительные и вспомогательные переменные.

Основные переменные обозначают размер видов или способов деятельности (площадь посева культур, поголовье скота и т.д.).

Дополнительные переменные вводятся при математической реализации задачи для преобразования неравенств в равенства (прирост кормов, привлечение рабочей силы, и т.д.)

Вспомогательные переменные вводятся для определения расчетных величин (для определения общей суммы материально-денежных затрат, показателей эффективности производства и т.д.).

Ограничения матрицы могут налагаться на отдельные переменные, на часть их или на все. По своему характеру ограничения подразделяются на основные, дополнительные и вспомогательные ограничения.

К основным ограничениям относятся такие ограничения, которые накладываются на все или большинство переменных и выражают главные, наиболее существенные условия задачи (по использованию производственных ресурсов).

Дополнительные ограничения накладываются на отдельные переменные или на небольшие группы их. Обычно они формулируются в виде неравенств, ограничивающих “снизу” или “сверху” объемы производства отдельных видов продукции, потребление животными отдельных видов или групп кормов и т.д. Особенно важно не перенасыщать модель дополнительными переменными, не сокращать степень свободы системы, иначе решение задачи сведется к арифметическим вычислениям заранее предрешенного результата.

Вспомогательные ограничения не имеют самостоятельного экономического значения. Их используют главным образом для обеспечения правильной формулировки экономических требований (определение вспомогательных переменных)

Ограничения матрицы модели могут иметь разные единицы измерения (площадь посева - га, трудовые ресурсы - чел.дн.), причем размерность каждого ограничения определяется единицей измерения его правой части .Развернутую числовую ЭММ можно рассмотреть на примере.

Пример

Составить план сочетания посевных площадей трех культур, при условии, что объем земельных ресурсов не должен превышать 900 га, а объем трудовых ресурсов – 5000чел-дней. При этом необходимо получить максимум произведенной продукции в стоимостном выражении.

Исходные данные

Культура	Обозначения (площадь, га)	Затраты труда, чел-дн.	Стоимость ВП, руб
пшеница	Х1	3	300
рожь	Х2	2.5	200
гречиха	Х3	10	100

Запишем числовую модель:

3Х₁+2.5Х₂+10Х₃ £ 5000

Х₁+Х₂+Х₃ £ 900

Zmax = 300X₁+200X₂+100X₃

МАТРИЦА ЗАДАЧИ

Ограничения	единицы	ОБ ОЗН А ЧЕ НИ Е ПЕРЕМЕННЫХ							Объем и тип
	измерения	Х1	Х2	Х3	...	...			ограничения
Баланс труда	чел.дней	3	2.5	10					£5000
Баланс пашни	га	1	1	1					£900
Z max	руб .	300	200	100

Матрица может иметь блочную структуру. Эта таблица составлена как бы из прямоугольных матриц, обычно расположенных по диагонали. По диагонали рабочей части матрицы стоят рабочие блоки. Каждый блок имеет свои переменные и ограничения. Рабочие блоки связаны между собой связывающим блоком. Такую матрицу имеют задачи по оптимизации состава машино-тракторного парка, по размещению сельскохозяйственного производства в размере области или района и т.д.

Ограничения	Ед.изм.	х1	х2	х3	х4	...	...	xn		Объем и тип ограничения
		R1
				R2
						. . .
								Rn
СВЯЗЫВАЮЩИЙ БЛОК
ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ

6 этап – Решение задачи на ЭВМ, анализ результатов, корректировка модели, решение задачи с учетом сделанных коррективов.

На этом этапе идет кодирование информации для перенесения на машинные носители и решение задачи на ЭВМ.

Для подготовки и решения задачи на персональном компьютере по программе «Линейная оптимизация» можно воспользоваться методическими указаниями «Методика работы с программным комплексом «Линейная оптимизация» при решении экономико-математических задач в курсовом и дипломном проектировании», составители В.С.Пецевич и Л.В.Водолазская, Омск 1998.

Для решения задачи на ЕС 1035 шифровка задачи осуществляется в следующем порядке:

1) на отдельном листе указывается фамилия студента и номер группы;

2. указывается на минимум или максимум решается задача;

3. затем делается следующая запись:

Д = ПРИМ2; (точка с запятой обязательно ставится после каждой построчной записи);

2. каждое ограничение записывается в виде двух ограничений:

• первое представляет собой уравнение, в левой части которого пишут Уn (где n- число, соответствующее номеру шифруемого ограничения) , а в правой – левую часть шифруемого ограничения;

• второе – неравенство или равенство (в зависимости от шифруемого ограничения), в левой части которого также пишут Уn, а в правой – свободный член шифруемого ограничения, знак неравенства соответствует знаку шифруемого ограничения;

Например:

а) ограничение по минимуму концентратов в рационе:

-1,2Х1 - 0,7Х2 - 0,09Х3 + 0,20Х13  0

будет иметь следующий вид:

У9 = -1,2Х1 - 0,7Х2 - 0,09Х3 + 0,20Х13;

У9 0;

б) ограничение по содержанию кормовых единиц в рационе:

Х13 – Х15 = 10,6

будет иметь следующий вид:

У1 = Х13 – Х15;

У1= 10.6;

2. целевая функция запишется следующим образом:

Ф = 3,5Х1 + 2,0Х2 + … + 5,0Х11 + 6,6Х12;

2. результаты решения выдаются на широкую печать.

7 этап - Экономический анализ выполненных расчетов и выбор оптимального варианта плана

В конкретных условиях в зависимости от характера задачи последовательность этапов моделирования экономических процессов может меняться.

В области сельскохозяйственного производства математическое моделирование используется для решения следующих задач:

- наиболее целесообразного распределения производственных ресурсов (земли, труда, техники и т.д.) в целях максимального увеличения производства сельскохозяйственной продукции;

- достижения заданных объемов производства с минимальными затратами производственных ресурсов;

- эффективного управления производством и наилучшего использования производственных ресурсов при минимальных затратах труда, денежно-материальных средств и времени.