4.2. Нахождение оптимального плана методом потенциалов

Для того чтобы проверить является ли данный опорный план оптимальным, необходимо применить метод потенциалов. Предварительно сделаем необходимые обозначения:

V_j - потенциалы столбцов;

U_i - потенциалы строк,

С_ij - стоимость перевозки единицы груза от каждого поставщика каждому потребителю;

Х_ij – количество груза, которое будет перевезено от i –ого поставщика к j – ому потребителю,

где i =1,…,m (m – число строк), а j = 1, …, n (n – число столбцов).

Опорный план транспортной задачи может иметь (m + n –1) отличных от нуля неизвестных. В этом случае план является невырожденным.

Если отличных от нуля неизвестных меньше, чем (m + n –1), то такой план – вырожденный. И для нахождения оптимального плана одна из пустых клеток таблицы, в этом случае, считается заполненной нулевым грузом.

Опорный план является оптимальным, если выполняются следующие условия: Для заполненных клеток (Хij > 0 ) Vj – Ui = Сij Для пустых клеток (Хij = 0 ) Vj – Ui £ Сij для всех i =1,…,m и j = 1, …, n

Опорный план, представленный в таблице 4.6., прежде всего проверим на вырожденность:

• число заполненных клеток в опорном плане (табл. 4.6.) равно 6;

• m + n –1 = 4 + 4 –1 =7.

Следовательно, данный план является вырожденным. Заполним клетку, расположенную на пересечении третьей строки и третьего столбца, нулевым грузом.

Найдем систему потенциалов, исходя из первого условия оптимальности. Но предварительно одному из неизвестных придадим нулевое значение. Обычно приравнивают к нулю неизвестную величину, обозначающую потенциал строки, которая чаще всего встречается в системе или, другими словами, потенциал той строки, в которой больше всего заполненных клеток. В нашем случае это – потенциал третьей строки (U3 =0).

V1 – U3 = 2	V1 = 0 + 2	V1 = 2
V2 – U3 = 3	V2 = 0 +3	V2 = 3
V3 – U3 =6	V3= 0+6	V3 = 6
V4 – U3 =5	V4 = 0+5	V4 = 5
V3 – U1=6	6 - U1 = 6	U1= 0
V4 – U2 =3	5 – U2 =3	U2 = 2
V2 – U4 = 4	3– U4 = 4	U4 = -1

Заполняем потенциалы строк и столбцов (табл. 4.7.)

Таблица 4.7.

V₁ = 2 V₂ = 3 V₃ = 6 V₄ =5

U1 =0	8	7	6 200	9
U2 =2	4	10	8	3 180
U3 =0	2 100	3 50	6 0	5 70
U4 =-1	5	4 100	8	9

Проверяем второе условие оптимальности (для пустых клеток).

Δ11 = V1 – U1 =2 – 0 = 2 < 8 Δ12 = V2 – U1 =3 – 0 = 3 < 7 Δ14 = V4 – U1 =5 – 0 = 5 < 9 Δ21 = V1 – U2 =2 – 2 = 0 < 4 Δ22 = V2 – U2 =3 – 2 = 1 < 10	Δ23 = V3– U2 =6 – 2 = 4 < 8 Δ41 = V1 – U4 =2 – (-1) = 3< 5 Δ43 = V3– U4 =6 – (-1) = 7< 8 Δ44 = V4– U4 =5 – (-1) = 6< 9

Второе условие выполнено для всех пустых клеток, следовательно, в таблице 4.7. получено оптимальное решение. Запишем его:

Zmin = 200*6+180*3+100*2+50*3+0*6+70*5+100*4=2840

Рассмотрим еще один пример. Задан некоторый опорный план (табл.4.8.).

Таблица 4.8.

3	5 120	7 10	11
1 30	4	6 70	2
5 120	9	12	7 50

Число заполненных клеток в опорном плане (табл. 4.8.) равно 6. По формуле считаем число отличных от нуля неизвестных:

m + n –1 = 4 + 3 –1 =6. Следовательно, план (табл. 4.8.) является невырожденным.

Используя первое условие оптимальности, находим потенциалы строк и столбцов, придавая нулевое значение потенциалу первой строки (U₁ =0).

V2 – U1 = 5	V2 = 0 + 5	V2 = 5
V3 – U1 =7	V3= 0+7	V3 = 7
V3 – U2 =6	7 - U2 = 6	U2 = 1
V1– U2=1	V1 - 1 = 1	V1= 2
V1 – U3 =5	2– U3 =5	U3 = -3
V4– U3 = 7	V4 - (–3)= 1	V4 = 4

Полученные значения потенциалов строк и столбцов записываем, соответственно, слева от таблицы и сверху (табл. 4.9.).

Таблица 4.9.

V₁ = 2 V₂ = 5 V₃ = 7 V₄ = 4

U1 =0	3	5 120	7 10	11
U2 = 1	1 30	4	6 70	2
U3 = -3	5 120 +	9	12	7 50

Проверяем второе условие оптимальности (для пустых клеток).

Δ11= V1 – U1 =2 – 0= 2 < 3 Δ14 = V4 – U1 =4 – 0= 4 < 11 Δ22 = V2 – U2 =5 – 1= 4 = 4

Δ24= V4– U2 =4 – 1 = 3> 2 Δ32 = V2– U3 =5 – (-3)= 8 < 9 Δ33= V3– U3 =7 – (-3) = 10< 12

Для всех пустых клеток, где нарушено второе условие оптимальности, находим характеристику по следующей формуле:

aij =vj-ui-cij

Из характеристик выбираем наибольшую (в данном случае единственная: a₂₄= 4 –1-2 = 1) и начиная с клетки с данной характеристикой строим цепь (цикл) – ломаная линия, вершины которой расположены в занятых клетках таблицы, кроме первой. Повороты цепи делают под прямым углом. В строке или столбце, где проходит цепь, содержится только две клетки цепи, цепь должна быть замкнута. Клетки цепи отмечаем чередующимися знаками (+) и (-), начиная со знака (+) в первой клетке цепи.

Таблица 4.10.

V₁ = 2 V₂ = 5 V₃ = 7 V₄ = 4

U1 =0	3	5 120	7 10	11
U2 = 1	- 1 30	4	6 70	+ 2
U3 = -3	5 120 +	9	12	7 50 -

Из всех объемов поставок, стоящих в клетках со знаком (-), выбираем минимальный, он обозначается буквой Q. Вычитаем Q из поставок отрицательной полу цепи и прибавляем к поставкам положительной полу цепи.

Q = min(30, 50) = 30

Пересчитанные грузы записываем в таблицу 4.11. и пересчитываем потенциалы.

Потенциалы исправляем, начиная с потенциала столбца той клетки, с которой начиналась цепь в предыдущей таблице, т.е. V₄=4-1=3 (табл. 4.9.)_. Уменьшаем его на величину характеристики этой клетки a₂₄ = 1.В столбце, где исправлен потенциал, есть еще заполненные клетки в третьей строке, следовательно, исправляем потенциал третьей строки (U₃ = -3-1 = -4). Затем “пройдем” по этой строке и для заполненных клеток исправим потенциал столбцов (V₁ = 2-1=1).

Таблица 4.11.

V₁ = 2 1 V₂ = 5 V₃ = 7 V₄ = 4 3

U1 =0	3	5 120	7 10	11
U2 = 1	1	4	6 70	2 30
U3 =-3 -4	5 150	9	12	7 20

Проверяем исправленную систему на выполнение условий оптимальности:

- для заполненных клеток первое условие верно;

- для пустых клеток:

Δ11= V1 – U1 =1– 0= 1 < 3 Δ14 = V4 – U1 =3 – 0= 3 < 11 Δ21 = V1 – U2 =1 – 1= 0 < 4

Δ22= V2– U2 =5 – 1 = 4 =4 Δ32 = V2– U3 =5 –(-4)= 9 = 9 Δ33= V3– U3 =7 – (-4) = 11< 12

Все условия выполняются. Следовательно, в таблице 4.11. получено оптимальное решение:

Z_min =120*5+10*7+70*6+30*2+150*5+20*7 = 2040