Контрольные вопросы
Объясните сущность М-метода, при решении каких задач применяется метод искусственного базиса?
Каким образом в М-методе идет выбор разрешающего столбца?
Назовите теорему, устанавливающую связь между оптимальными решениями М-задачи и Z-задачи.
Лекция 4 Транспортная задача
Транспортная задача - задача определения оптимального плана перевозок груза из данных пунктов отправления в заданные пункты потребления.
4.1. Нахождение опорного плана транспортной задачи
Исходные данные транспортной задачи задаются в распределительной таблице, где по строкам отражают запасы груза у каждого поставщика, а по столбцам – потребность в данном грузе каждого потребителя. В правом верхнем углу каждой клетки - стоимость перевозки единицы груза от каждого поставщика каждому потребителю. Причем, для того, чтобы решить транспортную задачу, сумма запасов однородного груза у поставщиков должна быть равна сумме потребностей в этом грузе потребителей (закрытая модель). В случае невыполнения этого условия (открытая модель), необходимо произвести некоторые преобразования (введение фиктивного поставщика или потребителя) и получить закрытую модель.
Алгоритм решения транспортной задачи состоит из двух шагов:
составление первоначального опорного плана каким-либо методом (минимального элемента в таблице, северо-западного угла, аппроксимации);
улучшение этого плана и доведение его до оптимального методом потенциалов.
Рассмотрим алгоритм составления первоначального опорного плана методом аппроксимации. Данный метод особенно эффективен для задач малой размерностью, так как в большинстве случаев приводит к оптимальному решению.
В распределительной таблице добавляются нулевой столбец (слева) и нулевая строка (сверху).
В нулевую строку записываются разности, полученные в соответствующих столбцах путем вычитания наименьшей стоимости из следующей за ней по величине. В нулевой столбец заносят разности, полученные аналогично в строках. Из всех полученных разностей выбирается наибольшая. При этом могут встретиться два случая:
Одна наибольшая разность. Тогда в соответствующей строке (столбце) обычным образом заполняется клетка, в которой стоит наименьшая стоимость, и рассчитываются новые разности.
Несколько одинаковых наибольших разностей. В этом случае в соответствующей строке (столбце) находим клетку, в которой стоит наименьшая стоимость, и проверяем, будет ли этот показатель наименьшим в противоположном ряду.
-
Для строки противоположным рядом будем считать столбец, а для столбца – строку.
Здесь возможны следующие моменты:
условие выполнено для одной клетки. Тогда с нее начинаем заполнение таблицы;
условие выполнено для нескольких клеток. Тогда заполняется та, которой в противоположном ряду соответствует большая разность. Если противоположные разности равны, то заполняем обе клетки;
условие не выполняется ни для одной клетки. Тогда в строках (столбцах) с наибольшей разностью отыскивают наименьшую стоимость, из которой вычитают наименьшую стоимость противоположного рядя. В результате получают несколько положительных чисел. Заполняется клетка, для которой это число будет наименьшим, после чего разности рассчитывают заново. Если числа будут одинаковые, то заполняем любую клетку.
Решение транспортной задачи рассмотрим на конкретном примере (таблица 4.1.):
Таблица 4.1.
-
8
7
6
9
200
4
10
8
3
180
2
3
6
5
220
5
4
8
9
100
100
150
200
250
700
700
Находим разность по строкам и по столбцам (табл. 4.2.)
Таблица 4.2.
-
2
1
0
2
1
8 х
7
6
9
200
1
4 х
10 х
8 х
3 180
180 0
1
2
100
3
6
5
220 120
1
5
х
4
8
9
100
100
0
150
200
250 70
700
700
Наибольших разностей две – в первом и четвертом столбце- и равны они 2. И в первом и во втором случае наименьшие стоимости (2 и 3) являются наименьшими и в противоположном ряду. Противоположные разности также равны (1 и 1), следовательно, заполняем обе клетки.
Потребность первого потребителя полностью удовлетворена, поэтому остальные клетки этого столбца заполняться не будут. Исчерпан полностью и запас груза второго поставщика. В пустые клетки первого столбца и второй строки поставим “х”. В дальнейшем первый столбец и четвертая строка не рассматриваются, и пересчитываем только разности строк и столбцов не выбывших из рассмотрения.
Таблица 4.3.
-
1
0
4
1
8 х
7
6
9
200
4 х
10 х
8 х
3 180
2
2
100
3
6
5
120
4
5
х
4 100
8 х
9 х
100 0
150 50
200
70
700
700
Опять получились две наибольшие разности (4) в четвертой строке и в четвертом столбце. Проверяем являются ли их наименьшие стоимости наименьшими в противоположном ряду. Как видим, в обеих случаях это условие не выполняется. Тогда находим разности между этими стоимостями и наименьшими стоимостями противоположного ряда.
Для четвертой строки: наименьшая стоимость равна 4, а наименьшая стоимость противоположного ряда (второй столбец) равна 3. Разность между ними равна 1.
Для четвертого столбца: наименьшая стоимость равна 5, а наименьшая стоимость третьей строки равна 3. Разность между ними равна 2. Наименьшее значение имеет первая разность, поэтому заполняем клетку, расположенную в четвертой строке и во втором столбце.
Из рассмотрения выходит четвертая строка.
Таблица 4.4.
-
4
0
4
1
8 х
7 х
6
9
200
4 х
10 х
8 х
3 180
2
2
100
3 50
6
5
120 70
5
х
4 100
8 х
9 х
50 0
200
70
700
700
Вновь две одинаковые разности во втором и в четвертом столбцах. Во втором столбце наименьшая стоимость (3) является наименьшей и в противоположном ряду. А в четвертом столбце наименьшая стоимость (5) не является наименьшей в третьей строке. Поэтому заполняем клетку, расположенную в третьей строке и во втором столбце. Второй столбец выходит из рассмотрения. И вновь пересчитываем разности.
Таблица 4.5.
-
0
4
3
8 х
7 х
6 200
9 х
200 0
4 х
10 х
8 х
3 180
1
2
100
3 50
6 х
5
70
70 0
5
х
4 100
8 х
9 х
200 0
70 0
700
700
Наибольшая разность соответствует четвертому столбцу. Поэтому заполняем клетку, расположенную в третьей строке и в четвертом столбце, так как в ней находится наименьшая стоимость. И последняя клетка, расположенная в первой строке и в третьем столбце, заполняется однозначно. Полученный опорный план представлен в таблице 4.6.
Таблица 4.6.
-
8
7
6 200
9
4
10
8
3 180
2
100
3 50
6 0
5
70
5
4 100
8
9