![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Л.В. Водолазская, в.С. Пецевич математическое моделирование социально-экономических процессов
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Методические рекомендации
- •Введение
- •Лекция 1 Основные понятия и определения
- •1.1 Основные понятия и определения математического программирования
- •1.2. Основные понятия и определения математического моделирования
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 2 Симплексный метод линейного программирования
- •2.1. Общая характеристика симплексного метода
- •2.2. Решение задачи линейного программирования в симплексных таблицах. Правила построения симплексных таблиц
- •Определение оптимальности плана. Построение новой симплексной таблицы
- •2.3. Альтернативный оптимум
- •2.4. Вырождение основной задачи линейного программирования
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 3 Метод искусственного базиса или м - метод
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 4 Транспортная задача
- •4.1. Нахождение опорного плана транспортной задачи
- •4.2. Нахождение оптимального плана методом потенциалов
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 5 Оптимизация структуры посевных площадей овощных культур.
- •5.1. Постановка задачи.
- •5.2. Состав переменных и ограничений
- •5.3. Структурная экономико-математическая модель
- •5.4. Исходная информация
- •5.5. Разработка числовой экономико-математической задачи
- •5.6. Анализ оптимального решения.
- •Контрольные вопросы
- •Лекция 6 Оптимизация структуры посевных площадей зерновых культур с учетом предшественников
- •6.1 Постановка задачи
- •6.2. Состав переменных и ограничений
- •6.3. Исходная информация
- •6.4. Разработка числовой экономико-математической модели
- •6.4. Анализ оптимального решения
- •Контрольные вопросы
- •7.Оптимизация рационов кормления животных
- •7.2. Состав переменных и ограничений задачи.
- •7.3. Исходная информация Для составления экономико-математической модели оптимального рациона кормления скота необходимы следующие данные:
- •7.4. Разработка числовой экономико-математической модели
- •Питательная ценность и стоимость кормов (в расчете на 1 кг корма)
- •7.5. Анализ оптимального решения
- •Контрольные вопросы
- •8. Оптимизация производственной структуры сельскохозяйственного предприятия
- •8.1.Постановка задачи
- •8.2. Система переменных и ограничений
- •8.3. Подготовка исходной информации и составление числовой экономико-математической модели
- •8.3.Анализ оптимального решения
- •Контрольные вопросы
- •9. Оптимизация плана производства кормов
- •9.1. Постановка задачи
- •9.2. Состав переменных и ограничений
- •Подготовка исходной информации и составление числовой экономико-математической модели
- •Анализ оптимального решения
- •Контрольные вопросы
- •Заключение
- •Библиографический список литературы
- •Типография издательства ОмГау, Омск-8, Сибаковская, 4
Контрольные вопросы
Опишите общую схему расчетов симплексным методом
Какая система ограничений называется совместной?
Какое решение задачи называется допустимым?
Сформулируйте ключевую теорему симплексного метода.
Какие переменные задачи являются базисными, а какие – свободными?
Опишите схему нахождения первого опорного плана.
Когда задача имеет альтернативное решение?
Какое решение задачи называется вырожденным?
Когда задача линейного программирования не имеет решения, и по какой причине?
Лекция 3 Метод искусственного базиса или м - метод
До сих пор мы всесторонне рассматривали задачу, решение которой осуществлялось на основе простейшего алгоритма симплексного метода, поскольку все ограничения имели вид меньше либо равно. В этом случае дополнительные переменные задачи образуют единичный базис. Но может получиться так, что система ограничений представлена в канонической форме, но она не приведена к единичному базису.
При решении таких задач был введен метод искусственного базиса. Он особенно удобен, когда число переменных значительно превосходит число уравнений.
Алгоритм решения задачи симплексным методом с искусственным базисом рассмотрим на примере.
Пример 1
Найти максимум Z=4X1+2X2+X3
Х1+Х2+Х38
2Х1+Х2+Х38
3Х1+2Х2+Х3=15
Хj0, j=1,...,3
Переходим к канонической форме:
Х1+Х2+Х3-Х4=8
2Х1+Х2+Х3+Х5=8
3Х1+2Х2+Х3=15
Хj0, j=1,...,5
Zmax=4X1+2X2+X3+0X4+0X5
Данная система ограничений не имеет единичного базиса, так как дополнительная переменная Х4 имеет коэффициент минус единица, а третье ограничение было представлено уравнением и в нем отсутствует базисная переменная. Для того, чтобы был единичный базис вводим в соответствующие ограничения искусственные переменные y1 и y2 с положительными коэффициентами (+1).
Следует отметить, что искусственные переменные вводятся только для математической формализации задачи. Поэтому схема вычислений должна быть такой, чтобы искусственные пременные не могли попасть в окончательное решение в числе базисных переменных. С этой целью для искусственных переменных в целевой функции вводят коэффициент М, обозначающий очень большое число. На практике (особенно при решении задачи на ЭВМ) вместо М берут конкретное большое число, например, 10000. Причем, при решении задачи на максимум этот коэффициент вводится в целевую функцию со знаком минус, а при решении на минимум – со знаком плюс. Теперь будем решать Т (М)-задачу, целевая функция которой содержит целевую функцию Z–задачи и искусственные переменные с коэффициентом М, т.е.
m
T=Z-M yi, при решении на максимум целевой функции и
i=1
m
T=Z+M y, при решении на минимум целевой функции
i=1
В нашем случае:
Х1+Х2+Х3-Х4+y1=8
2Х1+Х2+Х3+Х5=8
3Х1+2Х2+Х3+y2=15
Хj0, j=1,...,5
Тmax= 4X1+2X2+X3+0X4+0X5 - M(y1+y2)
Эта задача решается в симплексных таблицах , но для удобства целевую функцию разбивают на 2 строки:
- в первую строку записываем оценки , которые не содержат коэффициент М;
- во вторую строку- оценки по каждой свободной переменной, содержащие коффициент М.
Расчет элементов (оценок) этих двух строк производится по формуле (2). Только отличие:
- при расчете оценок Z -строки должны быть учтены коэффициенты Cj , входящие в функцию Z ;
- при расчете оценок М-строки этот коэффициент во внимание не берется, а М -выносится как общий множитель .
Для того, чтобы Т-задача и Z-задача были равны, нужно, чтобы yi были равны нулю. Поэтому пока yi не равно нулю , разрешающий столбец выбирается по оценкам во второй строке , используя алгоритм симплексного метода .
Лишь после того , как все yi станут равны нулю , дальнейший расчет будет вестись по первой индексной строке , т.е. -обычная Z-задача.
Причем, когда искусственная переменная будет выводиться из базиса , ее выбросим из симплексной таблицы , а в следующей симплекс-таблице не будет бывшего разрешающего столбца.
Между оптимальными решениями М-задачи и Z-задачи существует связь , устанавливаемая следующей теоремой:
1. Если в оптимальном решении М-задачи все искусственные переменные (yi) равны нулю , то это решение будет являться оптимальным решением Z-задачи .
2. Если в оптимальном решении М-задачи , хотя бы одна из искусственных переменных отлична от нуля , то Z-задача не имеет решения по причине несовместности системы ограничений .
3. Если М-задача оказалась неразрешимой (Т или), то исходная задача также неразрешима либо по причине несовместности системы ограничений, либо по причине неограниченности функции Z.
Составим первую симплексную таблицу. При решении М-методом разрешающий столбец можно выбирать в М-строке не по наибольшей по абсолютной величине отрицательной оценке (при решении на максимум) и не по наибольшей положительной оценке (при решении на минимум), а по той из них, которая быстрее выводит У из базиса. В данном примере разрешающим столбцом будет столбец свободной переменной X2 с оценкой (-3).
Таблица 3.1.
Первая симплексная таблица
-
Св.П
Cj
0
4
2
1
0
Б.П.
Ci
ai0
X1
X2
X3
X4
ai0/aip
У1
-М
8
1
1
1
-1
8
X5
0
8
2
1
1
0
8
У2
-М
15
3
(2)
1
0
7,5
Z
0
-4
-2
-1
0
М
-23
-4
-3
-2
1
Заполнение Z- строки осуществляется по формуле (2):
а00 = 0 8– 0 = 0
а01 =0 2– 4 = -4
а02 =0 1– 2 = -2
а03 =0 1– 1 = -1
а02 =0 0– 0 = 0
Заполнение М- строки:
а00 = -М 8 + (–М) 15 = -23М
а01 = -М 1 + (–М) 3= -4М
а02 = -М 1 + (–М) 2= -3М
а03 = -М 1+ (–М) 1 = -2М
а04 = -М (-1)+ (–М) 0 = 1М
М выносим как общий множитель.
В последнем столбце в разрешающей строке стоит 0, поэтому столбец свободной переменной X4 переносим без изменений.
Таблица 3.2.
Вторая симплексная таблица
-
Св.П
Cj
0
4
1
0
Б.П.
Ci
ai0
X1
X3
X4
ai0/aip
У1
-М
1/2
-1/2
(1/2)
-1
1 (-2)
X5
0
1/2
1/2
1/2
0
1 (0)
Х2
2
15/2
3/2
1/2
0
15 (0)
Z
15
-1
0
0
М
-1/2
1/2
-1/2
1
Во второй таблице получаем вырожденное решение, так как получаются два одинаковых минимальных симплексных отношений. Поэтому находим отношения элементов столбца следующего за разрешающим к элементам разрешающего столбца с учетом знака.
Таблица 3.3.
Третья симплексная таблица
-
Св.П
Cj
0
4
0
Б.П.
Ci
ai0
X1
X4
ai0/aip
Х3
1
1
-1
-2
-
X5
0
0
(1)
1
0
Х2
2
7
2
1
3,5
Z
15
-1
0
Теперь решаем обычным симплексным методом.
Таблица 3.4.
Четвертая симплексная таблица
-
Св.П
Cj
0
0
0
Б.П.
Ci
ai0
X5
X4
Х3
1
1
1
-1
X1
4
0
1
1
Х2
2
7
-2
-1
Z
15
1
1
В оценочной строке все элементы являются неотрицательными величинами, следовательно получено оптимальное решение:
Zmax=15 Xopt(0,7,1,0,0)
Пример2
Задача решалась на минимум (Zmin) целевой функции. На последней итерации получили следующую таблицу:
Таблица 3.5.
Последняя симплексная таблица
-
Св.П
Cj
0
4
1
0
Б.П.
Ci
ai0
X1
X3
X4
У1
М
-1/2
-1/2
-1/2
-1
X5
0
1/2
1/2
1/2
0
Х2
2
15/2
3/2
1/2
0
Z
15
-1
0
0
М
-1/2
-1/2
-1/2
-1
В Т-задаче получено оптимальное решение, так как в М-строке нет больше положительных оценок, т.е. выбор разрешающего столбца невозможен, а У1 находится в базисе. В этом случае исходная задача не имеет решения по причине несовместности системы ограничений.