7.3. Исходная информация Для составления экономико-математической модели оптимального рациона кормления скота необходимы следующие данные:

• вид или половозрастная группа скота, для которого рассчитывается рацион; период (сутки, месяц, год); живой вес одной головы; планируемая продуктивность;

• требуемое содержание питательных веществ в рационе, или потребность животного в зависимости от его продуктивности, живого веса, физиологического состояния (эти нормативные данные берут из справочников);

- предельные нормы скармливания отдельных видов и групп кормов данному виду скота или допустимые зоотехнические нормы потребления кормов (эти данные также берут из справочной литературы);

- виды кормов и кормовых добавок, из которых могут быть составлены кормовые рационы;

- содержание питательных веществ в единице корма или кормовой добавки по всем учитываемым в задаче видам питательных веществ (эти данные берут на основе анализа кормов, проведенного в агрохимлаборатории, или из справочных таблиц по питательности кормов);

• стоимость (себестоимость) весовой единицы корма и добавок.

7.4. Разработка числовой экономико-математической модели

Рассмотрим составление числовой экономико-математической модели на примере оптимизации суточного кормового рациона на стойловый период для дойной коровы живой массой 450 кг, продуктивностью 10-12 кг молока в сутки.

Набор имеющихся в хозяйстве кормов (из них жмых и карбамид хозяйство может приобрести на стороне), питательность кормов и их стоимость представлены в табл. 7.1. Основные переменные модели означают количество каждого вида корма, которое может быть введено в рацион. Так как составляется суточный рацион, то за единицу измерения удобно принять 1 кг. Обозначения переменных так же представлены в табл. 7.1.

Согласно нормам кормления в рационе коров указанной продуктивности и живого веса должно содержаться не менее 10.6 кг кормовых единиц, 1.14 кг переваримого протеина, 75г кальция, 50г фосфора, 450 мг каротина и не более 18 кг сухого вещества. При этом необходимо отметить, что отклонение нормы содержания основного вида питательного вещества допустимо в пределах 3-5% (кормовые единицы – 3%, переваримый протеин- 5%). В соответствии с зоотехническими требованиями отдельные группы кормов могут содержаться в рационе в следующем количестве ( в процентах от общего количества кормовых единиц в рационе):

концентрированные - от 20 до 32

грубые - от 25 до 36

силосные - от 25 до 38

корнеклубнеплоды - от 3 до 14

Итого от 73 до 120

При формировании структуры рациона следует учитывать, что сумма процентов по минимальной границе содержания отдельных видов кормов в рационе должна быть менее 100%, а по максимальной границе – более 100% порядка  20-30%.

Отдельные виды кормов могут содержаться в рационе в следующем количестве: картофеля – не более 10% веса корнеклубнеплодов; жмыха – не более 20% веса концентрированных кормов; соломы – не более 50% общего количества грубых кормов.

Карбамидом можно заменить не более 25% переваримого протеина, необходимого в рационе.

Для формирования основных ограничений по содержанию кормовых единиц и переваримого протеина в рационе необходимо ввести дополнительные переменные Х₁₅ и Х₁₆, обозначающие избыток соответствующего вида питательного элемента.

Для формирования ограничений по определению общего количества кормовых единиц и переваримого протеина вводятся вспомогательные переменные Х₁₃ и Х₁₄, обозначающие общее количество соответствующего вида питательного вещества.

Чтобы не записывать дважды питательную ценность кормов в ограничения по содержанию в рационе кормовых единиц и переваримого протеина и во вспомогательные ограничения по определению общего количества этих элементов, начнем составление модели со вспомогательных ограничений.

Вспомогательные ограничения

Эти ограничения записывают на основании нормативных данных по питательной ценности кормов и кормовых добавок (табл. 4.1).

Первое – по определению общего количества кормовых единиц в рационе- первоначально будет иметь вид:

1,2Х₁ + 0,7Х₂ + … + 0,13Х₁₀ + 0,3Х₁₁ = Х₁₃

или окончательно:

1,2Х₁ + 0,7Х₂ + … + 0,13Х₁₀ + 0,3Х₁₁ - Х₁₃ = 0

Второе – по общему количеству переваримого протеина – формируется аналогично.

Ограничения по питательности рациона

Эти ограничения формируют на основании требований по содержанию в рационе основных элементов питательности, приведенных в условии задачи. Введение в них дополнительных переменных (Х₁₅, Х₁₆) вызвано тем, что в оптимальном рационе избыток основных видов питательных элементов не должен превышать 5% от нормы. Поэтому эти дополнительные переменные в соответствующих ограничениях необходимо будет ограничить (см. ниже).

Ограничение по содержанию в рационе не менее 10.6 кг к.ед. запишется следующим образом:

Х₁₃ – Х₁₅ = 10,6

Аналогичный вид будет иметь ограничение по содержанию переваримого протеина.

Х₁₄ – Х₁₆ = 1,14

Запись ограничений, не включающих дополнительные переменные, обозначающие избыток данного вида питательного элемента, рассмотрим на примере содержания в рационе кальция:

1,2Х₁ + 1,2Х₂ + … + 0,4Х₁₀ + 0,2Х₁₁  75

Ограничение по содержанию сухих веществ будет противоположного смысла, так как в рационе их должно быть не более 18 кг:

0,87Х₁ 0,87Х₂ + … + 0,12Х₁₀ + 0,23Х₁₁  18

Ограничения по содержанию отдельных групп кормов в рационе

Данные ограничения формируются исходя из процентного соотношения отдельных групп кормов в кормовом рационе. Запись этих ограничений осуществляется с помощью основных переменных, обозначающих соответствующий вид корма, и вспомогательной переменной – общее количество кормовых единиц. В качестве коэффициентов при основных переменных в этих ограничениях будут выступать нормы содержания кормовых единиц в 1 кг соответствующего корма. В качестве коэффициента при вспомогательной переменной – содержание отдельной группы корма в процентах от общего количества кормовых единиц.

Приведем запись ограничений по минимальному и максимальному содержанию в рационе концентрированных кормов:

1,2Х1 + 0,7Х2 + 0,09Х3  0,20Х13

1,2Х1 + 0,7Х2 + 0,09Х3  0,32Х13

Произведем алгебраические преобразования с ограничениями. Перенесем члены с неизвестными в левую часть. Так как решение задачи будет осуществляться симплексным методом, то в матрице задачи выгодно иметь больше ограничений типа  (особенно для задач с большой размерностью матрицы), по причине того, что введение искусственных переменных приводит к увеличению затрат времени на решение задач. Поэтому умножим обе части ограничения на (-1). Это можно сделать всегда в ограничениях, имеющих свободные члены равные 0 и знак  .

Окончательно эти ограничения будут иметь вид:

-1,2Х1 - 0,7Х2 - 0,09Х3 + 0,20Х13  0

1,2Х1 + 0,7Х2 + 0,09Х3 - 0,32Х13  0

Аналогично формируются и остальные ограничения этого типа (11-16). Дополнительные ограничения

1. Ограничения по соотношению отдельных видов кормов в группе

Ограничения по включению жмыха в размере не более 20% от веса концентрированных кормов первоначально будет иметь вид:

Х3  0,2 (Х1 +Х2 + Х3)

Произведем алгебраические преобразования:

Х3 - 0,2 Х1 –0,2Х2 –0,2 Х3  0

- 0,2 Х1 –0,2Х2 +0,8 Х3  0

- Х1 –Х2 +4 Х3  0

В таком виде это ограничение записывается в матрицу. Аналогично формируются ограничения 18 и 19.

Для записи ограничения по карбамиду используется вспомогательная переменная Х14.

2,6Х12  0,25 Х14

или окончательно:

2,6Х12 - 0,25 Х14 0

2. Ограничения по превышению кормовых единиц и переваримого протеина

Х15  0,32

Х16 0,057

При формировании целевой функции в качестве коэффициентов при переменных будет выступать стоимость (себестоимость) единицы соответствующего корма или кормовой добавки. Таким образом, целевая функция, выражающая минимум стоимости рациона, запишется следующим образом:

 = 3,5Х1 + 2,0Х2 + … + 5,0Х11 + 6,6Х12  

При решении данной задачи на персональном компьютере по программе «Линейная оптимизация» необходимо сделать некоторые преобразования в целевой функции, так как данный программный комплекс предусматривает решение только на максимум целевой функции. На основании того, что  = -  знаки в целевой функции поменяем на противоположные:

 = - 3,5Х1 - 2,0Х2 - … - 5,0Х11 - 6,6Х12  

В матричной форме составленная числовая модель представлена в таблице 7.2.

Таблица 7.1