Лекция 1 Основные понятия и определения

1.1 Основные понятия и определения математического программирования

На производстве специалисты часто сталкиваются с проблемой выбора наилучшего варианта решения планово-экономических задач.

Решить эту проблему помогает наука, занимающаяся разработкой теории и методов обоснования выбора наилучших вариантов плана из множества возможных. Она получила название математическое программирование. Слово «программирование» означает выбор лучшей программы производства, лучшего плана. Но «лучший» в зависимости от чего? Прежде всего, от конкретной цели производства. Цель обязательно выражается количественным показателем (стоимость валовой продукции, сумма затрат и т.д.). Этот показатель называется критерием оптимальности плана и задается математически в виде некоторой целевой функции (функционала). Таким образом, решение планово-экономических задач сводится к нахождению либо максимального, либо минимального значения, другими словами, экстремального значения критерия оптимальности.

В практике наиболее широкое распространение получили планово-экономические задачи, в которых условия производства и критерий оптимальности могут быть представлены в виде системы линейных уравнений и неравенств. Такого рода задачи изучаются в теории линейного программирования. Линейное программирование – наиболее обширный, хорошо изученный и практически важный раздел математического программирования. Линейное программирование включает общие (симплексный и его модификации) и специальные (распределительный и его модификации) методы. Что же понимают под методами?

Под методами линейного программирования понимаются программы математических действий, позволяющие находить оптимальное решение различных экономических проблем, условия решения которых выражены в виде линейных уравнений и неравенств и сведены в единую систему линейных соотношений, подчиненную конкретной целевой функции.

Методами линейного программирования можно решать экономические проблемы, которые удовлетворяют следующим условиям:

1. Все экономические, технологические, социальные и другие требования, определяющие оптимальное решение проблемы, должны допускать их математическую формулировку в виде линейных уравнений и неравенств.

2. Система линейных соотношений, характеризующая все условия данной проблемы, должна иметь множество допустимых решений, т.е. прежде всего сама экономическая проблема должна допускать альтернативные решения.

3. Основная цель, которую нужно достичь в результате решения проблемы, должна быть четко выражена экономически и сформулирована в виде линейного соотношения.

В настоящее время существует ряд методов решения задач линейного программирования. Основным из них является симплексный метод. Это наиболее используемый на практике метод решения задач оптимального программирования. Для этого метода разработаны стандартные и специальные программы решения задач на ПЭВМ. Этот метод имеет возможность логической и математической проверки и корректировки результатов решения задач. Он обеспечивает органическую и автоматическую проверку и увязку всех балансовых соотношений исследуемого объекта, что особенно важно для решения плановых задач, и, наконец, дает возможность просчета различных оптимальных вариантов решения задачи по различным критериям оптимальности. В его основе лежит алгоритм симплексных преобразований системы, дополненный правилом, обеспечивающим переход не к любому, а к «лучшему» опорному решению.

Но встречаются такие задачи, когда число переменных значительно превосходит число ограничений, и процесс приведения системы ограничений к единичному базису является неоправданно громоздким. В таких случаях особенно удобен метод искусственного базиса (модифицированный симплексный метод или М-метод).

Первой операцией в процессе решения задач симплексным методом является преобразование неравенств в равенства (приведение системы в канонический вид). Делается оно путем введения во все неравенства дополнительных переменных. Эти дополнительные переменные, введенные в соответствии с требованиями алгоритма симплекс-метода, имеют определенный экономический смысл.

Дополнительные переменные, введенные в ограничения типа меньше либо равно (), равны разности между правой и левой частями ограничения неравенства и означают недоиспользование ресурсов (недовыполнение объема ограничений): недоиспользование ресурсов пашни, труда, материально-денежных средств и т.д.

Дополнительные переменные, введенные в ограничения типа больше либо равно (), равны разности между левой и правой частями ограничения неравенства и означают количество продукции или ресурса сверх минимальной границы (перевыполнение объема ограничений). Например, перевыполнение плана продажи государству некоторого вида продукции.

Следует отметить, что экономическая интерпретация дополнительных переменных сугубо конкретна для каждой задачи, для каждой переменной.

Общие методы линейного программирования (симплексный, М-метод и др.) в принципе дают возможность решить любую задачу, однако, как правило, это решение сопряжено со значительными и трудоемкими расчетами. Поэтому представляет интерес выделение отдельных классов задач, решение которых можно получить с помощью приспособленных для них более простых специальных вычислительных методов. Наиболее широким классом таких задач являются так называемые транспортные задачи. Транспортными задачами называются задачи определения оптимального плана перевозок груза из данных пунктов отправления в данные пункты потребления. Решение транспортных задач осуществляется специальным методом – методом потенциалов (модифицированный распределительный метод или метод «МОДИ»). Он основан на той же идее последовательного улучшения решения, что и симплексный метод, но учитывает специфические свойства математической модели транспортной задачи.