- •Сверху вниз: упругое тело, левая отсеченная часть, правая отсеченная часть Рис.1. Метод сечений.
- •Эпюры внутренних усилий при растяжении-сжатии
- •Эпюры внутренних усилий при кручении
- •Дифференциальные зависимости между внутренними усилиями при изгибе
- •Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений
- •Тензор деформации
- •Потенциальная энергия упругой деформации
- •Механические состояния деформируемых тел
- •Диаграммы упруго-пластического деформирования конструкционных материалов
- •Постановка задач теории надежности
- •Расчетные нагрузки, коэффициенты запаса
- •Расчеты по допускаемым нагрузкам и по допускаемым напряжениям
- •Напряжения при растяжении (сжатии) призматических стержней. Расчет на прочность
- •Понятие о концентрации напряжений, принцип сен-венана
- •Определение деформаций и перемещений
- •Напряженное состояние при растяжении (сжатии)
- •Применение к статически определимым системам.
- •Расчет статически неопределимых систем по способу допускаемых нагрузок.
- •Подбор сечений с учетом собственного веса (при растяжении и сжатии).
- •Деформации при действии собственного веса.
- •Вычисление моментов инерции и моментов сопротивления для простейших сечений.
- •Общий способ вычисления моментов инерции сложных сечений.
- •Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.
- •Рациональные формы поперечных сечений при изгибе
- •Понятие о составных балках
- •Б) а) несвязанная конструкция, б) связанная сварная конструкция Рис.1. Расчетные схемы составных балок:
- •Дифференциальное уравнение прямого изгиба призматического стержня
- •Расчет валов
- •Понятие о сдвиге. Расчет заклепок на перерезывание.
- •А) расчетная схема, б) действующие усилия Рис.2. Соединение с накладками:
- •90 120 С двумя накладками.
- •А) расчетная схема б) линейное и нелинейное сопротивления Рис.1. Модели изгиба балки:
- •Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.
- •Внецентренное сжатие или растяжение.
- •Примем следующий порядок расчета.
- •3. Строится эпюра крутящего момента Мz.
- •Подбор сечений балок равного сопротивления.
- •Определение деформаций балок переменного сечения.
- •Общие понятия.
- •Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании, загруженной одной силой р.
- •Постановка задачи.
- •Вычисление потенциальной энергии.
- •Расчетная модель к теореме Кастильяно.
- •Примеры приложения теоремы Кастильяно.
- •Теорема Максвелла—Мора.
- •Метод Верещагина.
- •А) расчетная схема б)грузовая эпюра в)фиктивное состояние г) эпюра моментов от единичного момента Рис.4. Иллюстрация метода Верещагина:
- •Общие понятия и метод расчета.
- •Способ сравнения деформаций.
- •А) исходная модель, б) фиктивная модель нагружения, в) грузовая эпюра моментов, г) эпюра моментов от реакции в, д) единичная эпюра моментов Рис.2. Решение методом Мора и Верещагина
- •Выбор лишней неизвестной и основной системы.
- •Общий план решения статически неопределимой задачи.
- •Определение деформаций статически неопределимых балок.
- •Связи, накладываемые на систему. Степень статической неопределимости.
- •А) плоская, б) плоскопространственная. В) пространственная Рис.2. Расчетные схемы рамных конструкций:
- •А)внешняя связь, б) две внешние связи в) шесть внешних связей в общем случае Рис.3. Схемы эквивалентных связей
- •А) три внешних связи, б) пять внешних связей Рис.4. Плоская рама
- •А) кинематически неизменяемая, б) неопределимая внутренним образом, в)со снятием дополнительных связей Рис.5. Классификационные признаки рам:
- •А) статически неопределимая — семь, б) — три, в) — четыре, г) — три, е) — двенадцать, ж) — семь, д) — три, и) — тринадцать раз статически неопределима Рис.6. Примеры рамных конструкций:
- •А) , б) и Рис.5. Интерпретация коэффициентов уравнений метода сил:
- •Напряжения в сферических толстостенных сосудах.
- •Диск равного сопротивления.
- •Формула Эйлера для определения критической силы.
- •Влияние способа закрепления концов стержня.
- •Проверка сжатых стержней на устойчивость.
- •Основные характеристики цикла и предел усталости
- •А) растяжение, б) изгиб, в) контактные напряжения Рис.1. Очаги концентрации местных напряжений:
- •Влияние состояния поверхности и размеров детали на усталостную прочность
- •Коэффициент запаса усталостной прочности и его определение
- •Постановка задачи. Явление Резонанса.
- •Влияние резонанса на величину напряжений.
- •Вычисление напряжений при колебаниях.
- •Учет массы упругой системы при колебаниях.
- •Основные положения
- •Общий прием вычисления динамического коэффициента при ударе.
- •А) двухопорная балка, б) консольная Рис.2. Модели удара:
Формула Эйлера для определения критической силы.
Для нахождения критических напряжений надо вычислить критическую силу , т. е. наименьшую осевую сжимающую силу, способную удержать в равновесии слегка искривленный сжатый стержень.
Эту задачу впервые решил академик Петербургской Академии наук Л. Эйлер в 1744 году.
Заметим, что самая постановка задачи иная, чем во всех ранее рассмотренных отделах курса. Если раньше мы определяли деформацию стержня при заданных внешних нагрузках, то здесь ставится обратная задача: задавшись искривлением оси сжатого стержня, следует определить, при каком значении осевой сжимающей силы Р такое искривление возможно.
Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения, шарнирно опертый по концам; одна из опор допускает возможность продольного перемещения соответствующего конца стержня (рис.3). Собственным весом стержня пренебрегаем.
Рис.3. Расчетная схема в «задаче Эйлера»
Нагрузим стержень центрально приложенными продольными сжимающими силами и дадим ему весьма небольшое искривление в плоскости наименьшей жесткости; стержень удерживается в искривленном состоянии, что возможно, так как .
Деформация изгиба стержня предположена весьма малой, поэтому для решения поставленной задачи можно воспользоваться приближенным дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня. Выбрав начало координат в точке А и направление координатных осей, как показано на рис.3, имеем:
(1) |
Возьмем сечение на расстоянии х от начала координат; ордината изогнутой оси в этом сечении будет у, а изгибающий момент равен
По исходной схеме изгибающий момент получается отрицательным, ординаты же при выбранном направлении оси у оказываются положительными. (Если бы стержень искривился выпуклостью книзу, то момент был бы положительным, а у — отрицательным и .)
Приведенное только что дифференциальное уравнение принимает вид:
деля обе части уравнения на EJ и обозначая дробь через приводим его к виду:
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
Это решение заключает в себе три неизвестных: постоянные интегрирования а и b и значение , так как величина критической силы нам неизвестна.
Краевые условия на концах стержня дают два уравнения:
в точке А при х = 0 прогиб у = 0,
В х = 1 у = 0.
Из первого условия следует (так как и cos kx =1)
0 = b.
Таким образом, изогнутая ось является синусоидой с уравнением
(2) |
Применяя второе условие, подставляем в это уравнение
у = 0 и х = l
получаем:
Отсюда следует, что или а или kl равны нулю.
Если а равно нулю, то из уравнения (2) следует, что прогиб в любом сечении стержня равен нулю, т. е. стержень остался прямым. Это противоречит исходным предпосылкам нашего вывода. Следовательно, sin kl = 0, и величина может иметь следующий бесконечный ряд значений:
где — любое целое число.
Отсюда , а так как то
и
Иначе говоря, нагрузка, способная удержать слегка искривленный стержень в равновесии, теоретически может иметь целый ряд значений. Но так как отыскивается, и интересно с практической точки зрения, наименьшее значение осевой сжимающей силы, при которой становится возможным продольный изгиб, то следует принять .
Первый корень =0 требует, чтобы было равно нулю, что не отвечает исходным данным задачи; поэтому этот корень должен быть отброшен и наименьшим корнем принимается значение . Тогда получаем выражение для критической силы:
(3) |
(Здесь J—минимальный момент инерции поперечного сечения стержня.) Это — так называемая формула Эйлера для сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами. Значению критической силы (3) соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной [формула (2)]
Лекция № 43. Анализ формулы Эйлера
Значениям критической силы высших порядков соответствуют искривления по синусоидам с двумя, тремя и т. д. полуволнами (Рис.1):
(1) |
Таким образом, чем больше точек перегиба будет иметь синусоидально-искривленная ось стержня, тем большей должна быть критическая сила. Более полные исследования показывают, что формы равновесия, определяемые формулами (1), неустойчивы; они переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в точках В и С (рис.1).
Рис.1
Таким образом, поставленная задача решена; для нашего стержня наименьшая критическая сила определяется формулой
а изогнутая ось представляет синусоиду
Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое значение ее выяснится, если в уравнении синусоиды положить ; тогда (т. е. посредине длины стержня) получит значение:
Значит, а — это прогиб стержня в сечении посредине его длины. Так как при критическом значении силы Р равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб f остался неопределенным.
Он должен быть при этом настолько малым, чтобы мы имели право применять приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси, т. е. чтобы было по прежнему мало по сравнению с единицей.
Получив значение критической силы, мы можем сейчас же найти и величину критического напряжения , разделив силу на площадь сечения стержня F; так как величина критической силы определялась из рассмотрения деформаций стержня, на которых местные ослабления площади сечения сказываются крайне слабо, то в формулу для входит момент инерции поэтому принято при вычислении критических напряжений, а также при составлении условия устойчивости вводить в расчет полную, а не ослабленную, площадь поперечного сечения стержня . Тогда
Таким образом, критическое напряжение для стержней данного материала обратно пропорционально квадрату отношения длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения. Это отношение называется гибкостью стержня и играет весьма важную роль во всех проверках сжатых стержней на устойчивость.
Из последнего выражения видно видно, что критическое напряжение при тонких и длинных стержнях может быть весьма малым, ниже основного допускаемого напряжения на прочность . Так, для стали 3 с пределом прочности допускаемое напряжение может быть принято ; критическое же напряжение для стержня с гибкостью при модуле упругости материала будет равно
Таким образом, если бы площадь сжатого стержня с такой гибкостью была подобрана лишь по условию прочности, то стержень разрушился бы от потери устойчивости прямолинейной формы.