Лабораторная работа № 2 Анализ временных рядов
Временной
ряд – это последовательность
наблюдений, упорядоченная по времени:
,
где
– числа, представляющие наблюдения
некоторой переменной в n
равноотстоящих моментов времени
.
Примеры данных, которые необходимо изучать во времени: цены на товар, деловая активность, национальный валовой продукт.
Особенность временных рядов – зависимость данных, характер которой может определяться положением наблюдений в последовательности.
Основные задачи анализа временных рядов:
прогнозирование на основе знания прошлого;
сжатое описание характерных особенностей ряда;
управление процессом, порождающим ряд.
В анализе
временных рядов предполагается, что
исходные данные содержат детерминированную
и случайную (
)
составляющие. В общем случае
детерминированная составляющая может
быть представлена в виде совокупности
следующих компонент:
тренда
,
определяющего главную тенденцию
временного ряда;циклов (циклической составляющей)
– более или менее регулярных колебаний
относительно тренда;сезонной составляющей
– периодических колебаний.
Временной ряд может быть представлен различными математическими моделями.
Аддитивная модель:
.
Мультипликативная модель:
.
Если
предположить, что сезонная составляющая
пропорциональна сумме тренда и циклической
составляющей
,
то временной ряд будет представлен в
виде смешанной модели:
.
Выбор модели зависит от конкретной совокупности явлений, определяющих данный временной ряд и их взаимосвязей.
Основные цели
Существуют две основные цели анализа временных рядов:
Определение природы ряда.
Прогнозирование (предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям).
Обе эти цели требуют, чтобы модель ряда была идентифицирована и, более или менее, формально описана. Как только модель определена, можно с ее помощью интерпретировать рассматриваемые данные. Не обращая внимания на глубину понимания и справедливость теории, можно экстраполировать затем ряд на основе найденной модели, т. е. предсказать его будущие значения.
Идентификация модели временных рядов
Систематическая составляющая и случайный шум
Как и большинство других видов анализа, анализ временных рядов предполагает, что данные содержат систематическую составляющую (обычно включающую несколько компонент) и случайный шум (ошибку), который затрудняет обнаружение регулярных компонент. Большинство методов исследования временных рядов включает различные способы фильтрации шума, позволяющие увидеть регулярную составляющую более отчетливо.
Два общих типа компонент временных рядов
Большинство регулярных составляющих временных рядов принадлежит к двум классам: они являются либо трендом, либо сезонной составляющей. Тренд представляет собой общую систематическую линейную или нелинейную компоненту, которая может изменяться во времени. Сезонная составляющая – это периодически повторяющаяся компонента. Оба эти вида регулярных компонент часто присутствуют в ряде одновременно.
Анализ тренда
Не существует «автоматического» способа обнаружения тренда во временном ряде. Однако если тренд является монотонным (устойчиво возрастает или устойчиво убывает), то анализировать такой ряд обычно нетрудно. Если временные ряды содержат значительную ошибку, то первым шагом выделения тренда является сглаживание.
Сглаживание. Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Самый общий метод сглаживания – скользящее среднее, в котором каждый член ряда заменяется простым или взвешенным средним n соседних членов, где n – ширина «окна».
Вместо среднего можно использовать медиану значений, попавших в окно. Основное преимущество медианного сглаживания, в сравнении со сглаживанием скользящим средним, состоит в том, что результаты становятся более устойчивыми к выбросам (имеющимся внутри окна). Таким образом, если в данных имеются выбросы (связанные, например, с ошибками измерений), то сглаживание медианой обычно приводит к более гладким или, по крайней мере, более «надежным» кривым, по сравнению со скользящим средним с тем же самым окном. Основной недостаток медианного сглаживания в том, что при отсутствии явных выбросов, он приводит к более «зубчатым» кривым (чем сглаживание скользящим средним) и не позволяет использовать веса.
Относительно реже, когда ошибка измерения очень большая, используется метод сглаживания методом наименьших квадратов, взвешенных относительно расстояния или метод отрицательного экспоненциально взвешенного сглаживания. Все эти методы отфильтровывают шум и преобразуют данные в относительно гладкую кривую. Ряды с относительно небольшим количеством наблюдений и систематическим расположением точек могут быть сглажены с помощью бикубических сплайнов.
Подгонка функции. Многие монотонные временные ряды можно хорошо приблизить линейной функцией. Если же имеется явная монотонная нелинейная компонента, то данные вначале следует преобразовать, чтобы устранить нелинейность. Обычно для этого используют логарифмическое, экспоненциальное или (менее часто) полиномиальное преобразование данных.