1.15. Смешанное произведение векторов

Определение 22. Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется результат векторного произведения первых двух векторов, умноженный скалярно на третий вектор.

Если дана упорядоченная тройка векторов , и , то смешанным произведением будет число, равное .

Свойства смешанного произведения векторов.

1⁰. Смешанное произведение любой упорядоченной тройки векторов определено и однозначно.

2⁰. Очевидно, смешанное произведение обладает всеми свойствами, общими для векторного и скалярного произведений. Так, например, ,

) , ,

, , .

3⁰. Смешанное произведение трёх векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы компланарны.

Доказательство. = 0  = , или , или .

Но =  и коллинеарны;  параллелен плоскости векторов и .

Следовательно, = 0  , и компланарны.

4⁰. (Смешанное произведение в координатах).

Доказательство. Пусть В = ортонормированный базис, , , . Так как = = . Так как базис ортонормированный, то по формуле (7) получим

= (11)

5⁰. Если в смешанном произведении поменять местами два множителя, то оно сменит знак.

Доказательство. Зафиксируем ортонормированный базис. Тогда смешанное произведение можно найти по формуле (11). Если два множителя в смешанном произведении меняются местами, то в определителе формулы (11) меняются местами две строки. При этом определитель меняет знак на противоположный.

6⁰. Если в смешанном произведении все множители поменять местами, то смешанное произведение не изменится. (Докажите)

7⁰. Смешанное произведение не изменится, если в нём поменять местами знаки векторного и скалярного умножения, т.е. =

Доказательство. Зафиксируем ортонормированный базис. Тогда = = = = .

Замечание. Последнее свойство позволяет в обозначении смешанного произведения не ставить знаки векторного и скалярного произведений, поэтому смешанное произведение можно обозначать .

8⁰. Геометрический смысл модуля и знака смешанного произведения.

Если векторы компланарны, то смешанное произведение их равно нулю (свойство 3⁰), поэтому рассмотрим упорядоченную тройку , и некомпланарных векторов. Отложим

векторы , и от одной точки: , , . Построим параллелепипед OADBCMNP на векторах , как на рёбрах. Пусть есть векторная проекция вектора на направление вектора . Тройка векторов , и всегда правая. Если тройка , и тоже правая, то сонаправлен с вектором , следовательно, числовая проекция  0 (рис. 24). Если

Рис. 24

же тройка , , левая, то противоположно направлен с вектором , следовательно, числовая проекция  0. Так как = , то знак совпадает со знаком . Итак,  0  тройка векторов , , правая и  0  тройка векторов , , левая.

 = = , где  высота параллелепипеда. Следовательно,   = , где  объём параллелепипеда OADBCMNP.

9⁰. (формула для нахождения высоты параллелепипеда).

10⁰. Если АВСD  тетраэдр, то , .

Задача 11. АВСDA₁B₁C₁D₁  куб с единичным ребром, , ,

, . Найдите высоту тетраэдра MNPQ, опущенную из вершины Q. Решение. , , . Выберем базис В = , где , , . Этот базис

Рис. 25

ортонормированный. Найдём координаты векторов: , ,

. Следовательно, ,

, .

= , . Следовательно,

.