- •Аналитическая геометрия
- •Содержание
- •I. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Определение и свойства векторов
- •1.2. Сложение векторов
- •1.3. Умножение вектора на действительное число
- •1.4. Коллинеарные векторы
- •1.5. Компланарные векторы
- •1.6. Векторные пространства
- •1.7. Линейная зависимость и независимость векторов
- •1.8. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •1.9. Проекция на прямую параллельно данной плоскости
- •1.10. Проекция вектора на ось
- •1.11. Ортогональная проекция вектора на ось
- •1.12. Скалярное произведение векторов
- •1.13. Метод координат на плоскости и в пространстве
- •1.14. Векторное произведение векторов
- •1.15. Смешанное произведение векторов
- •II. Образы первой ступени
- •2.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат
- •2.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве
- •2.2.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору
- •2.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •2.2.3. Общие уравнения прямой
- •I.Общее уравнение прямой на плоскости
- •II. Общие уравнения прямой в пространстве
- •2.2.4. Исследование взаимного расположения прямых
- •2.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости
- •2.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •2.3.3. Нормальное уравнение прямой
- •2.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями
- •2.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами
- •2.3.6. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых на плоскости
- •2.7. Прямая и плоскость в пространстве
- •2.7.1. Плоскость в аффинной системе координат
- •I.Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам
- •II. Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки
- •III. Общее уравнение плоскости
- •IV. Исследование взаимного расположения двух плоскостей
- •2.7.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
- •I. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •II. Угол между двумя плоскостями
- •III. Угол между прямой и плоскостью
- •IV. Расстояние от точки до плоскости
- •4.1. Элементарная теория линий второго порядка
- •4.1.2. Эллипс
- •4.1.3. Гипербола
- •4.1.4. Парабола
- •4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах
- •4.2. Упрощение уравнения линии второго порядка
- •4.3. Поверхности
- •4.3.1. Цилиндрические поверхности
- •4.3.2. Конические поверхности
- •4.3.3. Поверхности вращения
- •4.3.4. Эллипсоид
- •4.3.5. Однополостный гиперболоид
- •4.3.6. Двуполостный гиперболоид
- •4.3.7. Гиперболический параболоид
- •4.3.8. Прямолинейные образующие поверхности
II. Образы первой ступени
2.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат
Фигурой называется любое множество точек.
Пусть даны любая система координат (на плоскости или в пространстве) и произвольная фигура Ф. Тогда каждая точка, в том числе и каждая точка фигуры, будут определяться своими координатами. Если точку в фигуре менять, то будут меняться и её координаты. Но (если только фигура не совпадает с плоскостью или пространством), меняясь, координаты точек фигуры будут удовлетворять каким-то условиям.
Определение 23. Условием, определяющим фигуру Ф в данной системе координат называется такое условие, которому удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей фигуре Ф, и не удовлетворяют координаты никаких других точек.
Примеры. Найти условия, определяющие следующие фигуры.
1. Ось (Ох) в аффинной системе координат на плоскости (рис. 26). М (Ох) . Следовательно, условие, определяющее ось (Ох) в аффинной системе координат на плоскости, есть у = 0. 2. Ось (Ох) в аффинной системе координат в пространстве (рис. 27). М (Ох) Следовательно, условие, определяющее ось (Ох) в аффинной системе координат в пространстве, есть
3. Окружность радиуса r с центром в точке М0(х0, у0) в прямоугольной системе координат на плоскости (рис. 28). М окр(М0, r) М0М = r. Перепишем последнее равенство в координатах, используя тот факт, что система координат прямоугольная. М окр(М0, r) Так как в последнем равенстве обе части неотрицательны, то оно эквивалентно условию (12) |
Рис. 26
Рис. 27
Рис.28 |
В приведённых примерах условия, определяющие фигуру, являются либо уравнениями, либо системами уравнений. Если условие, определяющее фигуру является уравнением или системой уравнений, то оно называется уравнением (уравнениями) данной фигуры. Так, уравнение оси (Ох) на плоскости у = 0. Уравнения оси (Ох) в пространстве Уравнение окружности в прямоугольной системе координат на плоскости
4. Шар радиуса r с центром С(х0, у0, z0) в прямоугольной системе координат в пространстве (рис. 29). М шар (С, r) СМ r. Перепишем последнее равенство в координатах, используя тот факт, что система координат прямоугольная. М шар (С, r) Так как в последнем равенстве обе части неотрицательны, то оно эквивалентно условию (13) |
Рис.29 |
Обратная задача:
Пусть на плоскости (или в пространстве) зафиксирована аффинная система координат и задано условие, связывающее две (или три) переменные. Например, F(x, y) = 0. Если {(x, y)} множество всех упорядоченных пар действительных чисел, удовлетворяющих данному условию, то в данной системе координат это множество определяет множество точек, т.е. фигуру.
Примеры. Какие фигуры определяют следующие условия?
1. х2 + у2 + 3х 4у 1 = 0. Система координат на плоскости задана репером . Решение. Приведём данное уравнение к виду (12). (х2 + 3х + ) + (у2 4у + 4) = 1 + +4, или (х + )2 + (у 2)2 = . Это уравнение в прямоугольной системе координат на плоскости определяет окружность с центром С( , 2) и радиусом . |
2. х2 + у2 + 3х 4у + 7 = 0. После выделения полных квадратов получаем (х + )2 + (у 2)2 = . Это уравнение в любой аффинной системе координат (на плоскости и в пространстве) задаёт пустое множество точек. |