- •Аналитическая геометрия
- •Содержание
- •I. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Определение и свойства векторов
- •1.2. Сложение векторов
- •1.3. Умножение вектора на действительное число
- •1.4. Коллинеарные векторы
- •1.5. Компланарные векторы
- •1.6. Векторные пространства
- •1.7. Линейная зависимость и независимость векторов
- •1.8. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •1.9. Проекция на прямую параллельно данной плоскости
- •1.10. Проекция вектора на ось
- •1.11. Ортогональная проекция вектора на ось
- •1.12. Скалярное произведение векторов
- •1.13. Метод координат на плоскости и в пространстве
- •1.14. Векторное произведение векторов
- •1.15. Смешанное произведение векторов
- •II. Образы первой ступени
- •2.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат
- •2.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве
- •2.2.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору
- •2.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •2.2.3. Общие уравнения прямой
- •I.Общее уравнение прямой на плоскости
- •II. Общие уравнения прямой в пространстве
- •2.2.4. Исследование взаимного расположения прямых
- •2.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости
- •2.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •2.3.3. Нормальное уравнение прямой
- •2.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями
- •2.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами
- •2.3.6. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых на плоскости
- •2.7. Прямая и плоскость в пространстве
- •2.7.1. Плоскость в аффинной системе координат
- •I.Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам
- •II. Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки
- •III. Общее уравнение плоскости
- •IV. Исследование взаимного расположения двух плоскостей
- •2.7.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
- •I. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •II. Угол между двумя плоскостями
- •III. Угол между прямой и плоскостью
- •IV. Расстояние от точки до плоскости
- •4.1. Элементарная теория линий второго порядка
- •4.1.2. Эллипс
- •4.1.3. Гипербола
- •4.1.4. Парабола
- •4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах
- •4.2. Упрощение уравнения линии второго порядка
- •4.3. Поверхности
- •4.3.1. Цилиндрические поверхности
- •4.3.2. Конические поверхности
- •4.3.3. Поверхности вращения
- •4.3.4. Эллипсоид
- •4.3.5. Однополостный гиперболоид
- •4.3.6. Двуполостный гиперболоид
- •4.3.7. Гиперболический параболоид
- •4.3.8. Прямолинейные образующие поверхности
4.3.8. Прямолинейные образующие поверхности
Определение 18. Прямая называется прямолинейной образующей поверхности, если она целиком лежит на поверхности.
Очевидно, любая плоскость имеет бесконечно много прямолинейных образующих. Цилиндрические и конические поверхности, согласно их определению, тоже имеют бесконечно много прямолинейных образующих. Эллипсоид не может иметь прямолинейных образующих, т.к. он заключён внутри параллелепипеда.
Теорема 1. Эллиптический параболоид не имеет прямолинейных образующих.
Доказательство. Пусть q: Прямая q будет целиком лежать на эллиптическом параболоиде, заданном уравнением (33), тогда и только тогда, когда
уравнение удовлетворяется при любом значении t. Преобразовав его, получим . Этому уравнению удовлетворяет любое действительное число t тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю, т.е. Отсюда следует, что m = n =р = 0, что невозможно, ибо m, n, р – координаты направляющего вектора прямой. Итак, никакая прямая не может целиком лежать на эллиптическом параболоиде.
Теорема 2. Двуполостный гиперболоид не имеет прямолинейных образующих.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1, проведите его самостоятельно.
Теорема 3. Однополостный гиперболоид имеет два бесконечных семейства прямолинейных образующих.
Доказательство. Пусть гиперболоид задан уравнением . Отсюда , или Это уравнение, а следовательно и данное уравнение эквивалентно как уравнению (), так и уравнению (). Обозначая в () каждую дробь через , получим, что уравнение (), а поэтому и уравнение гиперболоида, эквивалентно системе Но эта система есть общие уравнения прямой. Так как любое действительное число, то получили бесконечное множество прямых, целиком покрывающих гиперболоид. Через каждую точку гиперболоида проходит точно одна из таких прямых.
Обозначая в () каждую дробь через , получим, что уравнение (), а поэтому и уравнение гиперболоида, эквивалентно системе Но эта система есть общие уравнения прямой. Так как любое действительное число, то получили бесконечное множество прямых, целиком покрывающих гиперболоид. Через каждую точку гиперболоида проходит точно одна из таких прямых. Очевидно первое и второе множества прямых – различные.
Итак, на однополостном гиперболоиде укладываются два бесконечных семейства прямолинейных образующих.
Теорема 4. На гиперболическом параболоиде лежат два бесконечных семейства прямолинейных образующих.
Доказательство. Уравнение (34) можно преобразовать к виду
.
Это уравнение эквивалентно как уравнению (), так и уравнению (). Уравнение () эквивалентно системе . При любом эта система задаёт прямую. Получили семейство прямых, целиком покрывающих параболоид. Через каждую точку параболоида проходит точно одна прямая этого семейства. Уравнение () эквивалентно системе Получили второе семейство прямых, целиком покрывающих параболоид. Через каждую точку параболоида проходит точно одна прямая этого семейства.
Итак, на поверхности гиперболического параболоида лежат два семейства прямолинейных образующих.