1.9. Проекция на прямую параллельно данной плоскости

Пусть l – прямая, П – плоскость и l П. Пусть М – произвольная точка. Через точку М

проведём плоскость П1, параллельную П. Пусть М1 = l  П1. Точка М1 называется проекцией точки М на прямую l параллельно плоскости П. Свойства проекций. 10. Каждая точка имеет проекцию и только одну. 20. Точка совпадает со своей проекцией тогда и только тогда,

Рис. 9

когда она лежит на прямой l.

3⁰. Точки имеют одну и ту же проекцию тогда и только тогда, когда они лежат в одной плоскости, параллельной П.

4⁰. Если отрезок параллелен плоскости П, то он проектируется в точку. Если отрезок не параллелен плоскости П, то его проекция – отрезок.

5⁰. Проекция ориентированного отрезка есть ориентированный отрезок. Следовательно, проекцией вектора будет вектор. Он называется векторной проекцией данного вектора и обозначается (параллельно П). Если проектирование идёт параллельно только одной плоскости, то слова в скобках можно опускать.

6⁰. Равные и параллельные отрезки имеют равные проекции.

Доказательство. Пусть отрезки АВ и СD равны и параллельны. Если АВ параллелен плоскости П, то СD тоже параллелен плоскости П. В этом случае оба отрезка проектируются в точку. Следовательно, их проекции равны.

Рис. 10

Пусть АВ, а поэтому и СD, не параллельны плоскости П. Пусть АВ проектируется в А₁В₁, а СD  в С₁D₁. При параллельном переносе на вектор Плоскость П₁ перейдёт в П₃, П₂  в П₄, прямая l  сама в себя. Следовательно, все отрезки с концами в плоскостях П₁ и П₂ перейдут в некоторые отрезки с концами в плоскостях П₃ и П₄. Отсюда и следует, что А₁В₁ равен и параллелен С₁D₁.

7⁰. Если , то = .

Доказательство. Так как равные векторы имеют равные векторные проекции, то при сложении первый вектор можно отложить от любой точки. Пусть О  l, . Если А  А1, В  В1, то = , = , . Так как , то + .

Рис. 11

8⁰. =  . (Докажите самостоятельно)

1.10. Проекция вектора на ось

Определение 14. Осью называется прямая с фиксированным на ней единичным вектором. Этот вектор называется ортом оси.

Пусть  орт оси, произвольный вектор, = . Так как векторы и коллинеарны и , то =  . Число  называется числовой проекцией вектора на данную ось и обозначается прl . Из 70 и 80 свойств векторных проекций следует и .

Рис. 12

90. Векторные и числовые проекции вектора на сонаправленные оси параллельно одной и той же плоскости равны. Доказательство. Сонаправленные оси имеют один и тот же орт. Если и , то (по свойству отрезков параллельных прямых, заключённых между параллельными плоскостями). Итак, векторные

Рис. 13

Проекции вектора на сонаправленные оси равны. Так как у этих осей один и тот же орт, то числовые проекции тоже равны.

10⁰. Так как направление оси можно задавать любым ненулевым вектором, сонаправленным с ортом оси, то можно говорить о проекции одного вектора на направление другого и обозначать ( проекция вектора на направление вектора параллельно плоскости П).