2.7. Прямая и плоскость в пространстве

Уравнения прямой в пространстве были выведены в пункте 2.2. Это уравнения 14¹  18¹ и 19. там же было показано, как приводить общие уравнения прямой к каноническому виду в аффинной системе координат, и исследовано взаимное расположение двух прямых.

2.7.1. Плоскость в аффинной системе координат

I.Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам

Дано: R = , М0(х0, у0, z0), , , и неколлинеарны; П  М0 , П  , П  . Найти условия, определяющие П (рис. 31). Решение. М  П  , и компланарны. Так как и неколлинеарны, то М  П  либо

Рис. 31

( u,v  любые действительные числа), либо определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю. Перепишем эти условия в координатах. Получим М  П  или М  П  (39)

Получили два вида уравнений плоскости: уравнение (39) и (40).

Уравнения (40) называются параметрическими уравнениями плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам.

Так как , где и  радиусы-векторы точек М и М₀ соответственно. Тогда уравнение можно переписать (41). Это векторное уравнение плоскости.

II. Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки

Дано: R = , М₁(х₁, у₁,z₁), М₂(х₂, у₂, z₂), М₃(x₃, у₃, z₃), точки M₁, M₂, M₃ не коллинеарные. П   M₁, M₂, M₃.

Найти уравнения П (рис. 32).

Решение. Так как M1, M2, M3 не коллинеарные, то векторы и неколлинеарны. Используя уравнение (41), получим векторное уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: . (42) Используя (40) и (39), получим параметрические уравнения плоскости П и её уравнение в форме определителя.

Рис. 32

(43); (44)

III. Общее уравнение плоскости

Если в уравнениях (39) или (44) раскрыть определители, то получим уравнение первой степени с тремя переменными, следовательно, в аффинной системе координат всякая плоскость может быть задана некоторым уравнением вида Ах + Ву + Сz + D = 0. Поставим обратную задачу: всякое ли уравнение вида Ах + Ву + Сz + D = 0 задаёт в аффинной системе координат некоторую плоскость.

Дано: R = , Ах + Ву + Сz + D = 0 (45), где коэффициенты А, В, С не все равны нулю.

Доказать: уравнение (45) задаёт плоскость.

Доказательство. Проведём доказательство, предполагая, что А  0. Если y = z = 0, то . Следовательно, координаты точки М₀ ( , 0, 0) удовлетворяют уравнению (45), т.е. если плоскость существует, то она обязательно пройдёт через эту точку. Векторы и , очевидно, не коллинеарны. Используя (39), составим уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ параллельно векторам и . Получим

После упрощения: Ах + Ву + Сz + D = 0, т.е. данное уравнение. Итак, (45) действительно задаёт плоскость.

Уравнение (45) называется общее уравнение плоскости.

Следствие. Если плоскость задана общим уравнением (45), то из векторов , и хотя бы два отличны от и неколлинеарны. Любой ненулевой вектор из них параллелен данной плоскости.