1.13. Метод координат на плоскости и в пространстве
Систему координат будем вводить параллельно на плоскости и в пространстве.
На плоскости Определение 17. Аффинным репером называется совокупность фиксированной точки и фиксированного базиса, т.е.
R =
Точка О называется началом координат,
векторы
Точка О вместе с каждым координатным вектором определяет ось. Эти оси называются координатными осями и обозначаются (Ох) и (Оу) (рис. 17).
Рис. 17 Координатные оси разбивают плоскость на четыре угла. Их называют координатными углами. Координатные углы нумеруются в направлении кратчайшего поворота оси (Ох) к оси (Оу). Говорят, что репер R = задаёт на плоскости систему аффинных координат.
Пусть М – произвольная точка плоскости.
Вектор
Рис. 18
Между множеством всех точек
плоскости и множеством всех компланарных
векторов, которые можно отложить в
этой плоскости, устанавливается
взаимнооднозначное соответствие.
Следовательно, радиус-вектор точки
вполне определяет эту точку и называется
её векторной координатой.
Обозначение М(
В базисе
М {x, y}. Отсюда следует, что между множеством всех точек плоскости и множеством всех упорядоченных пар действительных чисел устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, любая точка плоскости вполне определяется упорядоченной парой действительных чисел. Определение 18. Аффинными координатами точки в репере R = называются координаты её радиуса-вектора в базисе, входящем в этот репер.
М(х, у)R
Замечание. Если зафиксирован только один репер, то координаты точки можно обозначать М(х, у).
|
В пространстве Определение 171. Аффинным репером называется совокупность фиксированной точки и фиксированного базиса, т.е.
R =
Точка О называется началом координат,
векторы
,
и Точка О вместе с каждым координатным вектором определяет ось. Эти оси называются координатными осями и обозначаются (Ох), (Оу) и (Оz) (рис. 171).
Рис. 171 Каждая пара координатных осей определяет плоскость. Их называют координатными плоскостями и обозначают (ХОУ), (ХОZ) и (УОZ). Координатные плоскости разбивают пространство на 8 трёхгранных углов. Их называют координатными углами. Говорят, что репер R = задаёт в пространстве систему аффинных координат.
Пусть М – произвольная точка пространства. Вектор (рис.181) называется радиусом-вектором точки М (его часто обозначают одной буквой ).
Рис.181 Между множеством всех точек плоскости и множеством всех геометрических векторов устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, радиус-вектор точки вполне определяет эту точку и называется её векторной координатой. Обозначение М( .
В базисе
М {x, y, z}. Отсюда следует, что между множеством всех точек пространства и множеством всех упорядоченных троек действительных чисел устанавливается взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, любая точка пространства вполне определяется упорядоченной тройкой действительных чисел. Определение 18. Аффинными координатами точки в репере R = называются координаты её радиуса-вектора в базисе, входящем в этот репер.
М(х, у, z)R
Замечание. Если зафиксирован только один репер, то координаты точки можно обозначать М(х, у, z). |
.
и
координатными
векторами.
(рис.
18) называется радиусом- -вектором
точки М (его часто обозначают одной
буквой
).
.
,
входящем в данный репер, вектор
задаётся
упорядоченной парой своих координат.
Между множеством всех компланарных
векторов и множеством всех упорядоченных
пар действительных чисел тоже
устанавливается взаимно однозначное
соответствие. Итак,
.
.
координатными
векторами.
,
входящем в данный репер, вектор
задаётся
упорядоченной тройкой своих координат.
Между множеством всех геометрических
векторов и множеством всех упорядоченных
троек действительных чисел тоже
устанавливается взаимно однозначное
соответствие. Итак,
.Итак, введение аффинных координат позволяет каждую точку плоскости (пространства) характеризовать парой (тройкой) действительных чисел, т.е. перейти с геометрического языка на язык алгебры. Частным случаем аффинной системы координат является прямоугольная система координат.
Определение 19. Ортонормированным
репером называется совокупность
фиксированной точки и фиксированного
ортонормированного базиса, т.е.
на плоскости ( и
в пространстве). Аффинная система
координат (АСК), которая задаётся
ортонормированным репером, называется
прямоугольной декартовой системой
координат (ПДСК).
Аффинные задачи.
1. Координаты вектора, заданного координатами его концов.
На плоскости Дано: R = , А(х1, у1), В(х2, у2). Найти координаты вектора (рис.19).
Рис. 19
Решение. А(х1, у1)
В(х2, у2)
Так
как
|
В пространстве Дано: R = , А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2). Найти координаты вектора (рис. 191).
Рис. 191
Решение. А(х1, у1,
z1)
В(х2, у2,
z2)
Так как
,
то
|
,
.
,
то
.
,
.
.
2. Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.
Зная координаты двух точек А и В, найти
координаты такой точки С, что
().
Замечание. Из условия () следует, что точки А, В, С лежат на одной прямой. Если 0, то точка С лежит между точками А и В. Если 0, но 1, то точка С лежит вне отрезка АВ
со стороны точки В. Если 0, но 1, то точка С лежит вне отрезка АВ со стороны точки А. Если = 1, то С – середина отрезка АВ. Очевидно, всегда 1. |
|
Решение. Приведём решение в случае плоскости. В случае пространства решение проведите самостоятельно.
Пусть С(х, у, z).
Тогда
,
.
Перепишем равенство ()
в координатах. Получим х
х1 = (х2
х), у у1
= (у2
у). Отсюда
Метрические задачи.
Замечание. Метрические задачи можно решать в любой АСК, но рациональные вычислительные формулы получаются в ПДСК.
1. Расстояние между точками.
На плоскости Дано: , А(х1, у1), В(х2, у2). Найти АВ.
Решение. АВ
=
и базис
|
В пространстве Дано: , А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2). Найти АВ. Решение. АВ = . Так как
и базис
. |
.
Так как
ортонормированный, то
.
ортонормированный, то
2. Угол, заданный тремя точками.
Приведём решение этой задачи в случае пространства. Для плоскости решение проведите самостоятельно.
Дано: , А(х1, у1, z1), В(х2, у2, z2), С(х3, у3, z3). Найти ВАС.
Решение.
|
.
Перепишем в координатах: