- •Аналитическая геометрия
- •Содержание
- •I. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Определение и свойства векторов
- •1.2. Сложение векторов
- •1.3. Умножение вектора на действительное число
- •1.4. Коллинеарные векторы
- •1.5. Компланарные векторы
- •1.6. Векторные пространства
- •1.7. Линейная зависимость и независимость векторов
- •1.8. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •1.9. Проекция на прямую параллельно данной плоскости
- •1.10. Проекция вектора на ось
- •1.11. Ортогональная проекция вектора на ось
- •1.12. Скалярное произведение векторов
- •1.13. Метод координат на плоскости и в пространстве
- •1.14. Векторное произведение векторов
- •1.15. Смешанное произведение векторов
- •II. Образы первой ступени
- •2.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат
- •2.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве
- •2.2.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору
- •2.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •2.2.3. Общие уравнения прямой
- •I.Общее уравнение прямой на плоскости
- •II. Общие уравнения прямой в пространстве
- •2.2.4. Исследование взаимного расположения прямых
- •2.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости
- •2.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •2.3.3. Нормальное уравнение прямой
- •2.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями
- •2.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами
- •2.3.6. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых на плоскости
- •2.7. Прямая и плоскость в пространстве
- •2.7.1. Плоскость в аффинной системе координат
- •I.Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам
- •II. Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки
- •III. Общее уравнение плоскости
- •IV. Исследование взаимного расположения двух плоскостей
- •2.7.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
- •I. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •II. Угол между двумя плоскостями
- •III. Угол между прямой и плоскостью
- •IV. Расстояние от точки до плоскости
- •4.1. Элементарная теория линий второго порядка
- •4.1.2. Эллипс
- •4.1.3. Гипербола
- •4.1.4. Парабола
- •4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах
- •4.2. Упрощение уравнения линии второго порядка
- •4.3. Поверхности
- •4.3.1. Цилиндрические поверхности
- •4.3.2. Конические поверхности
- •4.3.3. Поверхности вращения
- •4.3.4. Эллипсоид
- •4.3.5. Однополостный гиперболоид
- •4.3.6. Двуполостный гиперболоид
- •4.3.7. Гиперболический параболоид
- •4.3.8. Прямолинейные образующие поверхности
2.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости
2.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Дано: R = , М0(х0, у0), , , l M0, l . Найти уравнение l. Найти уравнение l – это значит найти условие, которому удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точек. М l либо , либо () Так как , то () перепишется |
Рис. 20 |
(24)
Полученное уравнение – это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Переписав уравнение (24) в координатах, получим
А(х х0) + В(у у0) = 0 (25)
Поставим обратную задачу:
Дано: R = , l : Ax + By + C = 0 ().
Доказать: если , то .
Доказательство. Пусть М(х, у) – произвольная точка данной прямой и М0(х0, у0) – некоторая фиксированная её точка. Тогда Ах0 + Ву0 + С = 0. Вычитая почленно полученное тождество из уравнения (), получим уравнение А(х х0) + В(у у0) = 0, эквивалентное уравнению (), т.е. уравнение (25). Если , то (25) можно записать Вектор либо нулевой, либо параллелен l. Так как , то для всех точек М l , отличных от М0, имеет место . Отсюда следует, что .
2.3.2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку под данным углом к оси (Ох)
Дано: R = , М0(х0, у0), l М0, (угол ориентированный). Найти уравнение l. Для решения задачи достаточно знать вектор, параллельный данной прямой. Возьмём вектор такой, что и . Очевидно, l. Так как координаты вектора в прямоугольной системе координат равны ортогональным |
Рис. 21 |
проекциям этого вектора на соответствующие оси, то . Используя каноническое уравнение прямой на плоскости (16), получим
l : (26)
Прямые, не перпендикулярные оси (Ох) называются наклонными. Для таких прямых , следовательно, уравнение (26) можно привести к виду
, где (27)
Если l (Ох), то уравнение (26) можно привести к виду х = х0 (28) Это уравнение вертикальной прямой.
Если l – наклонная прямая и l (Оу) = В, где В(0, в), то уравнение (27) преобразуется к виду у = кх + в (29)
Уравнение (29) называют уравнение прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении к – тангенс угла наклона прямой к оси (Ох), в – отрезок, отсекаемый прямой на оси (Оу).
2.3.3. Нормальное уравнение прямой
Дано: R = , : , , l Р, l . Найти уравнение l. М l пр = р. Отсюда М l . Так как , , то
|
Рис. 22 |
М l . Отсюда М l (30)
Уравнение (30) называется нормальное уравнение прямой.