- •Аналитическая геометрия
- •Содержание
- •I. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Определение и свойства векторов
- •1.2. Сложение векторов
- •1.3. Умножение вектора на действительное число
- •1.4. Коллинеарные векторы
- •1.5. Компланарные векторы
- •1.6. Векторные пространства
- •1.7. Линейная зависимость и независимость векторов
- •1.8. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •1.9. Проекция на прямую параллельно данной плоскости
- •1.10. Проекция вектора на ось
- •1.11. Ортогональная проекция вектора на ось
- •1.12. Скалярное произведение векторов
- •1.13. Метод координат на плоскости и в пространстве
- •1.14. Векторное произведение векторов
- •1.15. Смешанное произведение векторов
- •II. Образы первой ступени
- •2.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат
- •2.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве
- •2.2.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору
- •2.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •2.2.3. Общие уравнения прямой
- •I.Общее уравнение прямой на плоскости
- •II. Общие уравнения прямой в пространстве
- •2.2.4. Исследование взаимного расположения прямых
- •2.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости
- •2.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •2.3.3. Нормальное уравнение прямой
- •2.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями
- •2.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами
- •2.3.6. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых на плоскости
- •2.7. Прямая и плоскость в пространстве
- •2.7.1. Плоскость в аффинной системе координат
- •I.Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам
- •II. Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки
- •III. Общее уравнение плоскости
- •IV. Исследование взаимного расположения двух плоскостей
- •2.7.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
- •I. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •II. Угол между двумя плоскостями
- •III. Угол между прямой и плоскостью
- •IV. Расстояние от точки до плоскости
- •4.1. Элементарная теория линий второго порядка
- •4.1.2. Эллипс
- •4.1.3. Гипербола
- •4.1.4. Парабола
- •4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах
- •4.2. Упрощение уравнения линии второго порядка
- •4.3. Поверхности
- •4.3.1. Цилиндрические поверхности
- •4.3.2. Конические поверхности
- •4.3.3. Поверхности вращения
- •4.3.4. Эллипсоид
- •4.3.5. Однополостный гиперболоид
- •4.3.6. Двуполостный гиперболоид
- •4.3.7. Гиперболический параболоид
- •4.3.8. Прямолинейные образующие поверхности
2.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве
2.2.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору
На плоскости Дано: R = , М0(х0, у0), , , l M0, l . Найти условие, определяющее l. Пусть М(х, у).
Рис. 30 М l коллинеарен либо 1) либо 2) координаты и пропорциональны. Рассмотрим оба случая. 1) М l Если , , то получим (14) Это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Перепишем в координатах. Получим Отсюда (15) В полученных уравнениях t называется параметром, а уравнения – параметрическими уравнениями прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.
2) М l координаты и пропорциональны (16). Это канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. |
В пространстве Дано: R = , М0(х0, у0, z0), , , l M0, l . Найти условие, определяющее l. Пусть М(х, у, z).
Рис. 301 М l коллинеарен либо 1) либо 2) координаты и пропорциональны. Рассмотрим оба случая. 1) М l Если , , то получим (141) Это векторное уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. Перепишем в координатах. Получим Отсюда (151) В полученных уравнениях t называется параметром, а уравнения – параметрическими уравнениями прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору.
2) М l координаты и пропорциональны (161) Это канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору. |
2.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
На плоскости Дано: R = , М1(х1, у1), М2(х2, у2), М1 М2; l M1, l M2. Найти уравнения l. Так как М1 М2, то и l . Следовательно, можно использовать уравнения (15) и (16). Получим (17) Это параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки. Из уравнения (16) получим (18) Это канонические уравнения прямой, проходящей через две точки.
|
В пространстве Дано: R = , М1(х1, у1,z1), М2(х2, у2, z2), М1 М2; l M1, l M2. Найти уравнения l. Так как М1 М2, то и l . Следовательно, можно использовать уравнения (151) и (161). Из уравнений (151) получим (171) t R. Это параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки. Из уравнения (161) следует (181). Это канонические уравнения прямой, проходящей через две точки. |