2.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями

Дано: R = , l₁ : A₁x + B₁y + C₁ = 0, l₂ : A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Найти один из углов .

Замечание. Очевидно, достаточно найти только один из углов между прямыми.

Решение: 1-ый способ. Из уравнений l1 и l2 следует, что вектор параллелен прямой l1 и вектор параллелен прямой l2. Следовательно, один из углов между l1 и l2 равен углу . Итак, . (31)

Рис 23

(Вывод формулы (31) можно проводить в любой аффинной системе координат). Воспользовавшись тем, что данная система координат прямоугольная, перепишем формулу (31) в координатах. Получим . Окончательно получим

(32)

2-ой способ. Из уравнений l1 и l2 следует, что вектор перпендикулярен прямой l1 и вектор перпендикулярен прямой l2. Из свойства углов со взаимно перпендикулярными сторонами следует, что один из углов между l1 и l2 равен углу . Итак, (33)

Рис. 24

Переписав полученную формулу в координатах, получим

. (32)

Замечание. Формулу (32) можно использовать только в том случае, когда прямые заданы общими уравнениями в прямоугольной системе координат.

Следствие. Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда А₁А₂ + В₁В₂ = 0 (33).

Задача. Дано. R = , , , , l₁ : 3х  4у + 11 = 0,

l₂ : 5х + у + 8 = 0.

Найти .

Решение. Используем формулу (31). В нашем случае = , . Следовательно, ; , . Подставив в формулу (31), получим .

2.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами

Дано: R = , l₁ : у = к₁ х + в₁, l₂ : у = к₂ х + в₂.

Найти ориентированный угол, на который нужно повернуть l₁, чтобы она стала параллельной l₂.

Решение. Из уравнений l1 и l2 следует, что , , где 1 и 2 – углы наклона прямых l1 и l2 к оси (Ох). Обозначим  ориентированный угол между l1 и l2 . По свойству внешнего угла треугольника получим  = 2  1. Отсюда . Итак, (34)

Рис. 25

Следствие. Две наклонные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда

(35)

Задача. Дано: R = , l₁ : 3х + 4у +12 = 0, l₂ : 4х  7у  1 = 0.

Найти тангенс угла между прямыми l₁ и l₂.

Решение. Используем формулу (34). Для этого нужно найти угловые коэффициенты данных прямых. Разрешая уравнения прямых относительно у, получим, что , . Следовательно,

Задача. Дано: R = , l₁ : 3х + 4у +12 = 0, l₂ : 4х + 3у  24 = 0.

Найти уравнения биссектрис углов, образованных l₁ и l₂.

Решение. Если l₃ и l₄ – биссектрисы данных углов, то каждая из них проходит через точку А = l₁  l₂. Координаты точки А найдём, решая систему уравнений Получим А( ).

По определению биссектрисы = и = . Обозначим через к угловые коэффициенты l₃ и l₄ . Используя формулу (34), получим

.

Так как и , то , или . Отсюда . Следовательно, , . Используя уравнение (27), получим

l₃ : (у + ) = 1(х  ). После упрощения l₃ : х  у  36 =0.

Аналогично, l₄ : (у + ) = 1(х  ). После упрощения l₄ : 7х + 7у  12 =0.