- •Аналитическая геометрия
- •Содержание
- •I. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Определение и свойства векторов
- •1.2. Сложение векторов
- •1.3. Умножение вектора на действительное число
- •1.4. Коллинеарные векторы
- •1.5. Компланарные векторы
- •1.6. Векторные пространства
- •1.7. Линейная зависимость и независимость векторов
- •1.8. Базис векторного пространства. Координаты вектора
- •1.9. Проекция на прямую параллельно данной плоскости
- •1.10. Проекция вектора на ось
- •1.11. Ортогональная проекция вектора на ось
- •1.12. Скалярное произведение векторов
- •1.13. Метод координат на плоскости и в пространстве
- •1.14. Векторное произведение векторов
- •1.15. Смешанное произведение векторов
- •II. Образы первой ступени
- •2.1. Условия, определяющие фигуру в системе координат
- •2.2. Прямая в аффинной системе координат на плоскости и в пространстве
- •2.2.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору
- •2.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •2.2.3. Общие уравнения прямой
- •I.Общее уравнение прямой на плоскости
- •II. Общие уравнения прямой в пространстве
- •2.2.4. Исследование взаимного расположения прямых
- •2.3. Прямая в прямоугольной системе координат на плоскости
- •2.3.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •2.3.3. Нормальное уравнение прямой
- •2.3.4. Угол между двумя прямыми, заданными общими уравнениями
- •2.3.5. Угол между наклонными прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами
- •2.3.6. Расстояние от точки до прямой
- •2.4. Пучок прямых на плоскости
- •2.7. Прямая и плоскость в пространстве
- •2.7.1. Плоскость в аффинной системе координат
- •I.Уравнения плоскости, проходящей через данную точку параллельно двум данным векторам
- •II. Уравнения плоскости, проходящей через три данные неколлинеарные точки
- •III. Общее уравнение плоскости
- •IV. Исследование взаимного расположения двух плоскостей
- •2.7.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат
- •I. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
- •II. Угол между двумя плоскостями
- •III. Угол между прямой и плоскостью
- •IV. Расстояние от точки до плоскости
- •4.1. Элементарная теория линий второго порядка
- •4.1.2. Эллипс
- •4.1.3. Гипербола
- •4.1.4. Парабола
- •4.1.5. Эллипс, гипербола и парабола в полярных координатах
- •4.2. Упрощение уравнения линии второго порядка
- •4.3. Поверхности
- •4.3.1. Цилиндрические поверхности
- •4.3.2. Конические поверхности
- •4.3.3. Поверхности вращения
- •4.3.4. Эллипсоид
- •4.3.5. Однополостный гиперболоид
- •4.3.6. Двуполостный гиперболоид
- •4.3.7. Гиперболический параболоид
- •4.3.8. Прямолинейные образующие поверхности
1.3. Умножение вектора на действительное число
Определение 6. Произведением ненулевого вектора на отличное от нуля действительное число называется такой вектор (обозначение ), что
,
, если 0,
, если 0.
Если или = 0, то вектор считается равным нулевому вектору.
Свойства операции умножения вектора на действительное число.
10. Произведение любого вектора на любое действительное число определено и однозначно.
20. 1 для любого вектора .
30. для любого вектора и любых действительных чисел , .
Доказательство. Возможны случаи.
1) = 0, или = 0, или = . В этом случае равенство очевидно.
2) 0, 0 и . Сравним длины и направления векторов, стоящих в левой и правой частях доказываемого равенства.
,
.
Следовательно, . Так как направления векторов зависят от знаков коэффициентов, то рассмотрим все возможные случаи.
а) и одного знака (пусть 0, 0). В этом случае 0.
,
, следовательно, .
Итак, левая и правая части доказываемого равенства имеют одинаковые длины и направления, поэтому они равны.
б) и имеют разные знаки (пусть 0, 0). В этом случае 0.
.
.
Снова получили, что левая и правая части доказываемого равенства имеют одинаковые длины и направления, поэтому они равны.
40. и ( для любых векторов , и любых действительных чисел , . (Докажите это свойство самостоятельно).
1.4. Коллинеарные векторы
Определение 4. Векторы называются коллинеарными, если их можно отложить на одной прямой.
Свойства коллинеарных векторов.
10. Нулевой вектор коллинеарен с любым вектором.
20. Противоположные векторы коллинеарны.
30. При сложении двух коллинеарных векторов получается вектор, коллинеарный с данными векторами. Следовательно, множество коллинеарных векторов замкнуто относительно операции сложения.
40. Если вектор умножить на действительное число, то получится вектор, коллинеарный данному. Следовательно, множество коллинеарных векторов замкнуто относительно операции умножения на действительное число.
50. Если два вектора коллинеарны, то хотя бы один из них можно представить в виде произведения другого на действительное число.
Доказательство. Пусть векторы и коллинеарны. Если вектор = , то = 0 . Если = , то = 0 . Если , и , то = . Если , то = .
Из двух последних свойств следуют следующие два свойства.
60. (Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов)
Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда хотя бы один из них можно представить в виде произведения другого на действительное число.
70. Если вектор не нулевой, то любой вектор, коллинеарный с вектором , можно представить в виде . Иными словами, для задания множества всех коллинеарных векторов достаточно задать один ненулевой из них.
Наконец, из всех приведённых свойств можно сделать вывод, что относительно сложения векторов и умножения вектора на действительное число множество коллинеарных векторов ведёт себя так же как множество всех геометрических векторов.
Задача 2. Отрезок АВ точками С, Р, О, К, М, Т разбит на семь равных частей. Пусть
. Выразить через вектор векторы . Решение. , , , , |
Рис. 6 |
.