IV. Исследование взаимного расположения двух плоскостей

Дано: R = , П₁ : А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0, П₂ : А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0.

Исследовать взаимное расположение П₁, П₂ .

Решение. Задача сводится к исследованию системы (46)

Возможны случаи.

1. А₁, В₁, С₁ и А₂, В₂, С₂ не пропорциональны. В этом случае система (46) имеет бесконечно много решений, но уравнения не пропорциональны. На геометрическом языке получаем, что плоскости имеют бесконечно много общих точек, но не совпадают. Следовательно, П₁ и П₂ пересекаются по прямой.

Замечание. Если прямая задана общими уравнениями (19), то каждое отдельно взятое уравнение задаёт прямую, т.е. прямая задаётся как линия пересечения двух плоскостей.

2. . В этом случае уравнения системы (46) эквивалентны, т.е. каждое решение одного из них является решением второго. На геометрическом языке: каждая точка одной плоскости лежит на другой, т.е. плоскости совпадают.

3. . В этом случае системы (46) не имеет решений. На геометрическом языке: плоскости не имеют общих точек.

Следствие. Плоскости П₁ : А₁х + В₁у + С₁z + D₁ = 0, П₂ : А₂х + В₂у + С₂z + D₂ = 0 параллельны тогда т только тогда, когда .

Задача. Исследовать взаимное расположение плоскостей, если одна из них задании общим уравнением, а вторая – параметрическими уравнениями.

Задача. Исследовать взаимное расположение плоскости и прямой, если

а) плоскость задана общим уравнением, прямая – параметрическими уравнениями;

б) плоскость и прямая заданы общими уравнениями.

2.7.2. Плоскость и прямая в прямоугольной системе координат

I. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Дано: , М0(х0, у0, z0), , , П  М0, П  . Найти уравнение П. Решение. М  П  либо , либо  . Так как , то М  П  (47) Это векторное уравнение данной плоскости.

Рис. 33

Переходя к координатам, получим А(х  х₀) + В(у  у₀) + С(z  z₀) = 0/ (48)

Можно показать, что если плоскость задана в ПДСК общим уравнением (45), то вектор перпендикулярен этой плоскости.

II. Угол между двумя плоскостями

Дано: , П1 : А1х + В1у + С1z + D1 = 0, П2 : А2х + В2у + С2z + D2 = 0. Найти один из углов между П1 и П2 . Решение. Из уравнений П1 и П2 следует, что и перпендикулярны плоскостям П1 и П2 соответственно. Если О – точка на линии пересечения П1 и П2, t1 и t2 лежат в плоскостях

Рис. 34

П₁ и П₂, проходят через точку О и перпендикулярны линии пересечения этих плоскостей (рис. 34), то = (П₁, П₂). Но по свойству углов со взаимно перпендикулярными сторонами либо равен углу , либо дополняет его до 180⁰. И в том, и в другом случае равен одному из углов между П₁ и П₂ . Следовательно,

Cos((П₁, П₂) = (49)

Из формулы (49) следует, что П₁  П₂  = 0.