- •Саратовский государственный технический университет сопротивление материалов
- •Саратов 2001
- •410054 Г. Саратов, ул. Политехническая, 77
- •Указания по оформлению расчетно-графических работ
- •Расчетно-графическая работа 1 геометрические характеристики плоских сечений
- •Целъ работы
- •Задание на работу
- •Технические и языковые средства выполнения работы
- •Теоретическая часть
- •Иллюстративные примеры
- •Пример I
- •Вычисление величины площади поперечного сечения
- •Определение положения центра тяжести сечения
- •Вычисление величин моментов инерции сечения
- •Определение положения главных центральных осей и вычисление величин главных центральных моментов инерции
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание и оформление отчета о работе
- •Контрольные вопросы
- •Бланк-задание
- •Контрольный пример
- •Программа
- •Некоторые свединия из векторной алгебры
- •Литература
- •Вычисление геометрических характеристик плоских сечений с использованием векторного анализа на пэвм
- •410054 Г.Саратов, ул. Политехническая, 77
- •Цель работы
- •Постановка задачи
- •Задание
- •Построение эпюр секториальных статических моментов и
- •Отсеченных частей сечения
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание и оформление отчета о работе
- •Конечные результаты работы
- •Контрольные вопросы
- •Варианты задания
- •Литература
- •410016 Г. Саратов, ул. Политехническая. 77
- •Цель работы
- •Постановка задачи
- •Заданий
- •Технические и языковые средства выполнения работы
- •Построение эпюр изгибающего момента м и попересной силы q
- •Вычисление момента в и изгибно-крутящего момента Мω
- •Определение величин начальных параметров
- •Построение эрюр угла закручивания , депланации , бимомента и изгибающего-крутяшего момента
- •Построение эпюр нормальных , и касательных , напряжений для ряда сечений стержня
- •Исследование характера изменения бимоментных напряжений вдоль стержня и их вклада в суммарные напряжения
- •Контрольный контур
- •Контрольные вопросы
- •410016 Г. Саратов, ул. Политехническая. 77
- •Цель работы
- •Постановка задачи
- •Задание
- •Технические и языковые средства выполнения работы
- •Приведение уравнений и формул к безразмерному виду
- •Построение аппроксимирующих функций статическим методом в.З. Власова
- •Вычисление амплитуды прогиба пластины По методу Бубнова – Галеркина
- •Построение в заданных сечения пластины эпюр прогиба, изгибающих и крутящих моментов поперечных сил
- •Исследование влияния степени вытянутости плана пластины на ее напряженное состояние
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание и оформление отчета о работе
- •Контрольные вопросы
- •Инструкции к программе
- •Бланк-задание
- •Программа
- •410016 Г. Саратов, ул. Политехническая. 77
- •Цель работы
- •Постановка задачи
- •Задание
- •Технические и языковые средства выполнения работы
- •Приведение уравнений и формул к безразмерному виду
- •Построение аппроксимирующих функций статическим методом в.З. Власова
- •Вычисление амплитуды прогиба пластины По методу Ритца-Тимошенко
- •Построение в заданных сечения пластины эпюр прогиба, изгибающих и крутящих моментов, поперечных сил
- •Исследование влияния степени вытянутости плана пластины на ее напряженное состояние
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание и оформление отчета о работе
- •Контрольные вопросы
- •Инструкции к программе
- •Бланк-задание
- •Программа
- •410016 Г. Саратов, ул. Политехническая. 77
- •Цель работы
- •Задание на работу
- •Теоретическая часть
- •Примеры расчета пластинок методом конечных разностей
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание и оформление отчета о работе
- •Контрольные вопросы
- •Варианты заданий
- •Соотношение сторон пластинок — цифра 3
- •Инструкция к программе «plate» расчета пластинки методом конечных разностей
- •Контрольные примеры пример 1
- •Пример 2 Расчет пластинки с рис. 8 б в безразмерном виде
- •V каком vide raschet???:razmer. - vvedf1", bezrazm. - vvedi''0 "
- •Литература
- •Содержание
- •410054, Саратов, Политехническая ул., 77
- •Цель работы
- •Задание на работу
- •Теоретическая часть
- •Идея метода конечных элементов
- •Уравнения метода конечных элементов
- •Примеры расчета пластинок мкэ
- •Порядок действий в алгоритме мкэ:
- •Порядок выполнения работы
- •Содержание и оформление отчета о работе
- •Контрольные вопросы
- •21. Элементами каких инженерных сооружений являются пластинки? варианты заданий
- •Контрольные примеры
Идея метода конечных элементов
Суть метода конечных элементов изложим на примере расчета известных задач. Рассмотрим произвольную конструкцию, находящуюся под действием приложенных к ней сил. Конструкция, представляющая собой распределенную систему сложной геометрической формы, рис.4, изображается в виде совокупности конечного количества относительно простых объектов правильной геометрической формы (конечных элементов), рис.5.
Рис. 4. Исходная модель и ее конечно-элементная дискретизация
В качестве таких элементов могут выступать стержни, элементы пластин, многогранники. Конечные элементы, аппроксимирующие исходную конструкцию, считаются связанными между собой в граничных точках (узлах), в каждом из которых вводится несколько степеней свободы, причем их количество зависит от геометрической формы элемента и типа решаемой задачи.
Например, для аппроксимации конструкций стержневыми элементами обычно вводится шесть степеней свободы в узле, рис.6, а, а при моделировании конструкции объемными элементами - по три поступательных перемещения, рис.6, б.
Рис. 5. Примеры конечных элементов
Рис. 6. Стержневой конечный элемент с шестью степенями
свободы в узле (а) и объемный элемент параллелепипеда
с тремя степенями свободы (б) в каждом узле
Действующие на конструкцию внешние нагрузки приводятся к эквивалентным силам (моментам), прикладываемых в узлах конечных элементов. Ограничения на перемещение конструкции (закрепления) также переносятся на конечные элементы, которыми моделируется исходный объект. Поскольку каждый КЭ имеет заранее определенную форму и известны его геометрические характеристики и характеристики материала, то для каждого КЭ, используемого для моделирования конструкции, можно записать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно смещений узлов КЭ под действием приложенных в эти узлы сил. Например, для задачи статического анализа конструкций такая система уравнений в матричной форме записывается следующим образом
ККЭ*ХКЭ=РКЭ, (10)
где ККЭ - локальная матрица жесткости конечного элемента, порядок которой равен количеству степеней свободы в узле КЭ,
РКЭ- локальный вектор сил, приложенных к узлам конечного элемента,
ХКЭ - локальный вектор неизвестных узловых перемещений конечного элемента.
Записывая систему (10) для каждого конечного элемента, аппроксимирующего исходную физическую систему, рассматриваем затем их совместно и получаем аналогичную систему уравнений для полной конструкции:
Кг*Хг=Рг, (11)
где Кг- глобальная матрица жесткости конструкции, порядок которой равен произведению количества подвижных узлов конструкции на число степеней свободы в одном узле,
Рг - глобальный вектор сил, приложенных к узлам конечно-элементной дискретизации конструкции,
Хг - глобальный вектор неизвестных узловых перемещений конструкции, подлежащий определению.
Формируя и решая систему уравнений (11), получаем значения перемещений в узлах конечно-элементной сетки, а также напряжения. Эти значения будут приближенными (с позиции теоретически возможного «точного» решения соответствующего дифференциального уравнения (6), но погрешность решения при правильном разбиении конструкции на конечные элементы получается в пределах инженерной точности вычислений. Кроме того, погрешность получаемого в результате конечно-элементной аппроксимации решения обычно плавно уменьшается по мере увеличения степени дискретизации моделируемой системы. Другими словами, чем большее количество КЭ участвует в дискретизации (или чем меньше относительные размеры КЭ), тем точнее получаемое решение.
Отметим, что более плотное разбиение конструкции на КЭ требует более значительных временных затрат ПЭВМ.