Построение аппроксимирующих функций статическим методом в.З. Власова

При ипользовании для расчета пластин метол Ритца-Тимошенко прогиб пластины задается в виде [4]

_{, (4)}

где B_i - неизвестные коэффициенты, x_i(ξ)- характер прогиба пластины в направлении оси ξ, который должен удовлетворять заданным граничным условиям на сторонах пластины ξ=0, ξ=1, а y_i() характер прогиба пластины в направлении оси , который должен удовлетворять заданным граничным на сторонах пластины =0, =1.

В методе Ритца-Тимошенко функции x_i(ξ) и y_i(), которые в дальнейшем называем аппроксимирующими (приближающими), обязательно должны удовлетворять геометрическим граничным условиям, которые формулируются через прогиб w(ξ,) и угол поворота (ξ,). Если взять достаточное число членов ряда n в (4), то статические граничные условия, формулирующиеся через изгибающий момент (М_ξ или М_) и приведенную поперечную силу ( _или ), интегрально удовлетворяется с достаточной точностью.

Однако при большом числе членов ряда прогиба w (4) значительно возрастает трудоемкость решения задачи методом Ритца-Тимошенко. Поэтому желательно использовать такие способы построения функций x(ξ) и y(), при которых они достаточно отражают характер прогиба пластины по направлениям осей ξ и  и задачу можно решать в первом приближении, когда [4]

₍₅₎

Таким способом построения функций x(ξ) и y() является спо­соб, предложенный выдающимся советским ученым членом-корреспондентом АН СССР профессором В.З.Власовым. Суть способа состоит в построении аппроксимирующих функций, удовлетворяющих всем граничным условиям, а также и характеру внешней нагрузки.

Проиллюстрируем данный способ на конкретном примере, Предположим, что надо построить статическим методов Я.З.Власова аппроксимирующие функции х(ξ), у() для пластины, изображенной на рис. 3 и имеющей значение параметров μ=0.3 и γ=2.

Рис.3

На рис. 3 и в дальнейшем заменяем пластину ее срединной плоскостью [1+4], штриховкой обозначаем защемленный край пластины, на котором в ноль обращаются прогиб w(ξ,) и угол поворота сечения w’_ξ(ξ,) (или w’_(ξ,)). Пунктиром обозначаем шарнирно-опертый край, на котором в ноль обращается прогиб w(ξ,) и изгибающий момент М_ξ(ξ,) (или М_(ξ,)). Если край свободен от опорных закреплений, то их обозначения отсутствуют и на краю обращается в ноль изгибающий момент М_ξ(ξ,) (или М_(ξ,)) и при­веденная поперечная сила ^Q*_ξ(ξ,) (или Q^*_(ξ,)).

Строим статическим методом [1] аппроксимирующую функцию х(ξ). Граничные условия по оси ξ в пластине следующие: при ξ=0- шарнирный край, т.е. w(0,)=0 и М_ξ(1,)=0, при ξ=1 – защемление, т.е. w(1,)=0 и w’_ξ(1,)=0. Подставляя выражение (5) для w(ξ,) в формулы для w, М_ξ, w’_ξ, получим

₍₆₎

_{Преобразуя (6), получаем систему следующих четырех граничных условий}

, , , . (7)

Отметим, что приведение условия М_ξ(0,)=0 к условию возможно из-за выполнения условия - шарнирный край.

Рассмотрим вырезанную из пластины элементарную полоску шириной dу как обыкновенную балку и определим для этой балки в соответствии с граничными условиями линию прогибов от заданной нагрузки [1]. Балка изображена на рис.4, а нагрузка является равномерной, т.к. , т.е. , - см. рис.3.

Рис.4

Записываем в безразмерном виде дифференциальное уравнение изгиба балки

, (8)

где - характер изменения нагрузки по оси ξ.

Последовательно интегрируем (8) четыре раза:

(9)

(10)

(11)

. (12)

Произвольные постоянные интегрирования С₁, С₂, С₃, С₄ определяем из заданных граничных условий (7). Из условия получаем С₄=0, а из условия - C₂=0.

Для нахождения С₁ и С₂ используем оставшиеся условия , , приводящие к системе алгебраических уравнений:

(13)

Решая (13), находим величины С₁ и С₂

С₁= -3/8, С₃=1/48. (14)

Подставляя полученные значения С₁, С₂, С₃, С₄ в х(ξ) (13), получаем:

. (15)

Аппроксимирующая функция х(ξ) (15) соответствует граничным условиям в пластинке на сторонах контура ξ=0 и ξ=1 и характеру распределения нагрузки вдоль оси ξ.

Отметим следующее обстоятельство. Нас интересует характер прогиба пластины в направлении оси ξ - амплитуду В прогиба _{мы найдем в дальнейшем методом Ритца-Тимошенко. В связи с этим выражение (15) для х(ξ) желательно упростить так, чтобы коэффициент при старшей степени ξ был равен единице, т.е. принять}

. (16)

Переходим к построению аппроксимирующей функции у(). Граничные условия по оси  в пластине следующие: при =0 – шарнирный край, т.е. w(ξ,0)=0, M_(ξ,0)=0, при =1- свободный край, т.е. М_(ξ,1)=0, Q^*_(ξ,1)=0. Подставляя выражение (5) для w(ξ,) в формулы для w, М_, w’_, Q^*_, получим

₍₁₇₎

_.

_{Условия (17) при =0 можно привести к виду}

, . (18)

Условия же при =1 не допускают упрощения, т.к. при =1 на свободном краю пластины у(1)≠0, у”(1)≠0, y’”(1)≠0.

Необходимо обратить внимание на то, что на шарнирном краю пластинки упрощаются, например, из (6) получено (7).

Таким образом, граничные условия по оси имеют вид:

(19)

.

Отметим, что в граничные условия (19) вошла функция х(ξ) и ее производная х”(ξ), которые меняют свои значения вдоль оси ξ. В связи с этим возникает необходимость заменить требование равенства нулю М_ и Q^*_ в любой точке края =1 условиями равенства нулю суммы работ всех моментов М_(ξ,1) на углах поворота w’_ (ξ,1) и приведенных поперечных сил Q_(ξ,1) на прогибах w(ξ,1) вдоль края пластины =1. Эта замена называется смягчением граничных условий. В силу принципа Сен - Венана [4] вносимая при смягчении граничных условий погрешность будет сказываться в малой зоне пластины у края =1.

Таким образом, окончательно после их смягчения граничные условия по оси  принимают вид:

(20)

Вырезанная из пластинки элементарная полоска шириной dx представлена на рис.5.

Рис.5

Следует помнить, что граничные условия для данной балки- полоски отличаются от граничных условий (20) для пластины.

Поперечная нагрузка в пластине изменяется по оси  по линейному закону G()=, поэтому дифференциальное уравнение изгиба рассматриваемой балки-полоски в безразмерном виде.

. (21)

Последовательно интегрируя (21) четыре раза:

(22)

(23)

(24)

. (25)

Произвольные постоянные интегрирования С₁, С₂, С₃, С₄ находим из граничных условий (20). Из условия получаем С₄=0, а из - С₂=0.

Для нахождения С₁ и С₂ используем два оставшихся уравнения системы (20). Берем х(ξ) в виде (16) и вычисляем входящие в (20) определенные интегралы:

(26)

В результате имеем систему алгебраических уравнений

(27)

Подставляя в (26) формулы (22) – (25) и решая полученную систему, находим С₁=-0.2, С₃=0.07375.

Подставим полученные значения С₁, С₂, С₃, С₄ в у():

. (28)

Упрощаем выражение для у() так, чтобы коэффициент при ⁵ был равен 1, и получаем

. (29)

Аппроксимирующая функция у() (28) соответствует граничным условиям в пластине по оси  и характеру распределения поперечной нагрузки по этой оси.

Рассмотрим возможные пути построения аппроксимирующих функций статическим методом В.З. Власова для пластин, различным образом закрепленных по контуру – рис.6.

Рис.6

На рис. 6а изображена пластина, на сторонах контура которой или жёсткое защемление, или шарнирное опирание. Для таких типов закреплений аппроксимирующие функции и строятся независимо одна от другой и без смягчения граничных условий.

На рис.6б изображена пластина, у которой на сторонах контура и -шарнирное опирание, на стороне контура -заделка, а на стороне контура -свободный край. Сначала необходимо построить функцию , затем использовать её для нахождения функции , используя смягчённые на свободном краю пластины при условия и условия при .

(30)

Для изображённой на рис. 6в пластины сначала необходимо построить функция , а затем найти функцию , используя смягчённые на свободных краях пластины и условия

(31)

При построении аппроксимирующих функций следует обратить внимание на то, что степень полинома или зависит от характера распределения нагрузки по оси или . Если распределение равномерное, то полином (например, (16)) имеет порядок 4, если линейное, то (например, (28))-порядок 5, а при распределении поперечной нагрузки по квадратичной параболе порядок полинома составляет 6.