Цель работы

Знакомство с методикой расчета тонкостенного стержня открытого профиля, находящегося под действием поперечной нагрузки.

В процессе выполнения работы:

- изучается методика нахождения координат центра изгиба, главной центральной точки отсчета и вычисления секториальных характеристик;

- построение эпюр секториальных статических моментов и статических моментов отсеченных частей сечения;

- изучается методика определения напряженно-деформированного состояния тонкостенного стержня с использованием ЭВМ;

- проводится анализ НДС тонкостенного стержня в зависимости от различных факторов;

- приобретаются навыки подготовки исходных данных для ЭВМ и ее использования.

Постановка задачи

Рассматриваются тонкостенной стержни открытого профиля постоянной толщиной стенки . Поперечное сечение стержня имеет одну ось симметрии, которую условимся обозначать осью ОХ. Габариты поперечного сечения задаются в долях характерного размера а. Линия действия нагрузки в каждом поперечном сечении проходит через его центр тяжести перпендикулярно оси ОХ и направлена противоположно направлено оси ОY. Ось Z сов­падает с осью стержня, под которой как и в случае стержня сплошного поперечного сечения, понимается линия центров тяжес­ти площадей поперечных сечений. Начало системы координат рас­положено в центре тяжести крайнего левого поперечного сечения. Для определенности будем считать, что оси ХY связаны с поперечным сечением, так как показано на "Схемы поперечного сечения стержня" вариантов задания (стр.31).

Действующая на стержень, нагрузка представлена в виде сосредоточенной силы и распределенной нагрузи .

В учебных целях ограничиваемся рассмотрением статически определимых стержней.

Задание

Для данного стержня требуется:

1. Определить положение центра тяжести сечения, направление главных центральных осей и величин главных центральных моментов инерции , .

2. Найти координаты центра изгиба, главной начальной точки отсчета и вычислить секториальные характеристики .

3. Построить эпюры секториальных статических моментов и статических моментов , отсеченных частей сечения.

4. Построить эпюры изгибающего момента и поперечной силы .

Остальные пункты задания см. / 2 /. Здесь приведены те пункты РПР, которые рассматриваются в данных методических указаниях.

ТЕХНИЧЕСКИЕ И ЯЗЫКОВЫЕ СРЕДСТВА

ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

При выполнении данной части РПР используются чертежные принадлежности и микрокалькулятор любого типа. При РПР оформле­нии необходимо сопровождать численные результаты чертежами, вы­полненными в масштабе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ СЕЧЕНИЯ,

НАПРАВЛЕНИЯ ГЛАВНЫХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ОСЕЙ

И ВЕЛИЧИН ГЛАВНЫХ ЦЕНТРАЛЬНЫХ

МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ

Для центра тяжести сечения необходимо выполнить следующее:

1. Выбрать исходную систему координат (ось Х совпадает с осью симметрии сечения) – рис.3.

Рис.3

2. Разбить поперечное сечение на элементарные части и вычислить площадь всего сечения – рис.3

,

3. Вычислить статические моменты элементарных фигур и всего сечения относительно оси . Напомним, что этичес­кие моменты некоторой фигуры, относительно оси, вычисляются как произведение площади этой фигуры на расстояние от ее центра тяжести до оси, относительно которой вычисляется статичес­кий момент

;

;

.

При вычислении площади фигуры F и ее статического момента пренебрегаем членом., содержащим , по сравнению с членом, содержащим . Тогда

,

4. Вычислить координаты центра тяжести сечения по формуле

5. Провести через центр тяжести ось ОY и получить сис­тему координат , в которой оси и является главными центральными осями инерции поперечного сечения.

6. Проверить правильность нахождения координат центра тя­жести сечения. Известно, что статический момент сечения отно­сительно его центральной оси равен нули. На этом положении основана проверка. Предположим, что ось не проходит через центр тяжести. Вычислим координату центра тяжести относительно этой оси. Будем считать, что положению центра тя­жести найдено с достаточной точностью, если . Используя прежнее разбиение фигуры на элементарные части, получи

Таким образом, положение центра тяжести определено правильно.

Напомним, что статический момент сечения по определению равен

, (1)

Где . Для вычисления можно непосредственно воспользоваться этим выражением. На рис.4 приведена эпюра . Используя при вычислении интеграла правило Верещагина перемножения эпюр (в данном случае одна эпюра - , другая – единая по контуру), получим

Для вычисления величин моментов инерции и используем формулы /2/

, . (2)

С учетом равенства выражения для и примут вид

, . (3)

Эпюры и приведены соответственно на рис.4, 5. При вычислении интегралов (3) используется правило Верещагина /2/. Напомним, в чем оно состоит.

Рис.4 Рис.5

Рассматривается интеграл вида . В подынтегральное выражение входит произведение функций и , являющихся ординатой эпюр . Для интеграла (1) ; . Для интегралов (3): , : для , . Тогда на основании правила Верещагина можно записать

, (4)

где - площадь фигуры ограниченной кривой , - ордината функций под центром первой фигуры (рис.6). Это правило можно применять только в том случае, если одна или обе эпюры ограничены прямыми. Если одна из эпюр ограничена кривой, то площадь вычисляется той фигуры, которая ограничена кривой. Ордината в этом случае берется обязательно с прямолинейной эпюры. Если обе эпюры ограничены прямыми, то площадь берется любой из них, а ордината - с другой.

Правило Верещагина удобно применять в том случае, когда площадь фигуры и положение ее центра тяжести определяется просто, например, для прямоугольника и треугольника (рис.7, 8), трапеции (рис.9, 10). В последнем случае фигура разбивается на треугольники.

Используя это правило для вычисления интегралов (3), получим

Рис.6 Рис.7

Рис.8

Рис.9

Рис.10

ВЫЧИСЛЕНИЕ

Участок 1, 2, 6, 7

Участок 3, 4

Участок 5

ВЫЯИСЛЕНИЕ

Участок 6, 7

Участок 1, 2

Участок 5

Участок 3, 4 (прямая часть)

Рис.12

Схеме вычислении и приведена соответственно на рис. 11, 12.

Для закрепления пройденного материала рекомендуется проделать самостоятельно аналогичные вькладки для сечения, изображенных на рис. 13, которое соответствует схеме 1 при , . Затем сравнит их с нижеприведенными.

За исходную выбираем систему координат .

,

,

,

, ;

Проводим через центр тяжести ось и получаем систему координат , в которой оси и являются главными центральными осями координат инерции поперечного сечения.

Рис.13

Проверяем правильность положения центра тяжести

Центр тяжести найден верно. Используя правило Верещагина, вычисляем моменты инерции сечения , .

ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР СЕКТОРИАЛЬНЫХ ПЛОЩАДЕЙ,

ВЫЧИСЛЕНИЕ СЕКТОРИАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ,

НАХОЖДЕНИЕ КООРДИНАТ ЦЕНТРА ИЗГИБА

ТОЧКИ ОТСЧЕТА

Общий закон продольных перемещений тонкостенного стержня, имеющего в поперечном сечении открытый профиль, записывается таким образом [1]:

(5)

Здесь первыми тремя членами выражен закон плоских сечений, сог­ласно которому поперечные сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации. Продольные перемещения, определяемые этими членами, возникают в результате сложной деформации растяжения в направлении оси и изгиба в двух плоскостях: и . Функция определяет осевую деформацию, поперечные сечения при этой деформации получают только поступательные смещения вдоль образующей стержня. Функция и , представляют собой прогибы оси стержня в плоскостях , , характеризуют деформацию изгиба. При этой деформации поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются относительно осей , .

Четвертым членом формулы (5) определяется та часть перемещений, которая не следует закону плоских сечений и возникает в результате кручения. Это отклонение от закона плоских сечений называется секториальной депланацией сечения. Величина , представляющая собой относительный угол кручения, служит мерой депланации стержня при кручении. Характер депланации поперечного сечения из своей плоскости задается функцией , которая называется секториальной площадью.

В классической теории изгиба балок, основанной на законе плоских сечений (три первых члена выражения (5)) за ось стержня принимается линия центров тяжести поперечных сечений стержня. Сам стержень отождествляется с этой осью. Это основное понятие строительной механики стержневых систем, вытекающее из закона плоских сечений и имеющее основание в принципе Сен-Венана.

Для тонкостенного стержня существенно значение имеет также и линия центров тяжести. Линией центров изгиба называется прямая, параллельная оси стержня и обладающая следующим свойством: если внешняя поперечная нагрузка, включая реакции, проходит через эту прямую, то стержень будет находиться в условиях центрального поперечного изгиба. То есть стержень будет находиться в условия закона плоских сечений и его напряженно деформированное состояние описывается первыми тремя членами выражения (5).

Если поперечная нагрузка, включая опорные реакции, хотя бы на одном участке стержня не проходит через линию центров изгиба, то стержень будет испытывать деформацию кручения. В его сечениях возникнут напряжения изгибного кручения, определяемые законом секториальных площадей, которому соответствует четвертый член выражения (5).

Эта линия совпадает с осью центров тяжести сечения для стержней, имеющих в поперечном сечении две оси симметрии. В остальных случаях линия центров изгиба не совпадает с осью стержня.

Таким образом, если вся внешняя нагрузка, включая реакции опор, проходит через центры изгиба поперечных сечений стержня, то он рассчитывается по обычным формулам сопротивления материалов. Если нет, то в сечениях стержня появляются дополнительные напряжения, а сам расчет резко усложняется. Однако понятна практическая значимость информации о положении центра изгиба сечения.

Переходим к изложению методики нахождения координат центра изгиба.

Секториальной площадью называется геометрическая характеристика поперечного сечения, определяемая выражением

, (6)

где - длина элемента контура от некоторой начальной точки отсчета на нем до точки, в которой определяется значение секториальной площади: - расстояние от полюса до касательной к элементарному отрезку контура . Порядок выбора полюса и начальной точки отсчета будет рассмотрен ниже. Построение эпюры секториальной площади выполняют двигаясь по дуге контуру сечения, откладывая величину по нормали к контуру. Единица измерения - .

Вид эпюры секториальных площадей зависит от положения полюса точки отсчета. Знак эпюры выбирается следующим образом: при обходе контура относительно полюса против часовой стрелки берется знак , при обходе контура по часовой стрелке – знак .

Для определения координат центра изгиба строится вспомогательная эпюра , для которой полюс стараются выбрать так, чтобы эпюра на возможно большей части контура была нулевой. Это может быть достигнуто расположением полюса в угловых точках сечения или в точках ветвления контура. Выбор начальной точки преследует те же цели.

На рис. 14, 15 изображены эпюры секторильной площади при различном выборе начальной точки .

Из этих эпюр видно, что во втором случае положение начальной точки отсчета выбрано неудачо. В качестве эпюры поэтому берем эпюру, изображенную на рис.14. В дальнейшем при построении эпюр секториальных площадей будем иметь в виду следующее:

1. На прямолинейных участках профильной линии секториальные площади всегда представляются прямолинейными в общем случае трапецеидальными эпюрами. Поэтому значение секториальной площади вычисляется для начальной и конечной точки прямолинейного участка профиля.

2. Если конец радиуса-вектора скользит по прямой, на которой находится полюс, то секториальная площадь остается не измененной.

3. Начальную точку следует брать в любой точке прямолинейного отрезка контура, содержащего полю.

4. В случае разветвляющегося контура построение эпюры секториальных площадей ведется с заходом в каждую ветвь и возвращением к точке разветвления.

После построения эпюры координаты центра изгиба определяются выражениями [1], [3]

; (7)

где , - координаты полюса , , называются секторильными центробежными моментами инерции и определяются следующими выражениями:

; (8)

Рис. 14

Рис.15 Рис.16

Рис.17 Рис.18

Используя правило Верещагина, вычисляем величины:

Вычисляем величины и :

Известно, что центр изгиба при наличии оси симметрии всегда лежит на ней, поэтому степень отличия величины от нуля свидетельствует о величине погрешности, допущенной при проведении построений и вычислений. Будем считать допустимым, если величина находится в пределах

(9)

Найденное значение координаты удовлетворяет условию (9). Выполнение этого условия означает, что эпюра построено верно, а величины определено правильно.

Отметим, что выбранная величина ограничения (9) является “мягким” ограничением. Превышение свидетельствует о недопустимых погрешностях при вычислениях или при построении эпюр. Например, округлив значении , получим

.

Положив , , , получим и .

Проверка правильности нахождения координаты осуществляется следующим образом. В начале дадим некоторые определения.

Начальная точка отсчета, для которой при расположении полюса в центре изгиба получаем , называется главной нулевой секториальной точкой или главной начальной точкой отсчета. Сама величина называется секториальным статическим моментом.

Для определения положения этой точки имеется специальная методика, однако в случае сечения, имеющего ось симметрии, известно, что этой точкой является ближайшая к центру изгиба точка пересечения оси симметрии с контуром сечения.

На рис.16 показано положение главной нулевой секториальной точки . Построим эпюру для полюса с вычисленными координатами , и главной начальной точкой отсчета - рис.16. Полагая, что точка является произвольно выбранным полюсом, вычисляем величину . Эта величина дает отрезок, который надо отложить от в направлении оси , чтобы получить центр изгиба.

Будем считать, что при выполнении условия

(10)

координата центра изгиба определена верно. Одновременно тем самым проверяется правильность построения эпюры .

Для рассматриваемого примера получаем:

. (11)

Таким образом, проверка выполнена.

Для дальнейших вычислений потребуется величина

, (12)

Которая называется секториальным моментом инерции. При нашем выборе полюса и начальной точки отсчета из четырех геометрических величин, характеризующих сопротивление стержня искривлениям (депланациям) его поперечного сечения в процессе стесненного кручения, три величины обращаться в ноль:

, , (13)

Таким образом, секториальный момент инерции остается единственной секториальной характеристикой, характеризующей сопротивляемость тонкостенного стержня искривлениями поперечных сечения из их плоскости. Определяем величину :

Выше говорилось, что для сечений, имеющих ось симметрии, положение главной нулевой секториальной точки заранее известно. Известно также, что центр изгиба находится на оси симметрии.

Однако при выполнении данной расчетно-проектировочной работы использовать эти сведения при выборе полюса, то есть располагать его на оси симметрии. Подчеркнем, что одной из целей выполнения работы является осознание студентом факта расположения центра изгиба на оси симметрии и методики его нахождения в общем случае для несимметричного поперечного сечения тонкостенного стержня открытого профиля.

Для лучшего усвоения данной методики найдем и построим эпюру для сечения, изображенного на рис. 13.

Одно из возможных положений полюса Р с учетом того, что на оси симметрии брать его при выполнении работы не рекомендуется, показано на рис. 17. За начальную точку выбирается любая точка отрезка или . В этом случае для выбранного полюса Р вид эпюры получается наиболее простым.

Используя правило Верещагина, получим:

Напомним, что эпюры и берутся на рис.13. Положение центра изгиба , главной нулевой секториальной точки и эпюра приведены на рис.18.

Проводим проверки:

.

Проверки эпюры и положения центра изгиба выполнены.