§11. Елементи матричної алгебри.

Поняття матриці. Операції множення матриці на число, додавання і віднімання матриць; зв’язок цих операцій з відповідними операціями над векторами. Операція множення матриці на матрицю. Економічне тлумаченя операції матричного множення (знаходження технологічної матриці об’єднаної фірми). Властивості операцій над матрицями (зокрема, некомутативність, взагалі кажучи, матричного множення, асоціативність та адитивність матричного множення, одинична матриця як нейтральний елемент щодо множення матриць та її єдиність в цьому аспекті). Елементарні перетворення і трасвекції (мультиплікативна форма елементарних перетворень). Мультиплікативна форма методу Гаусса. Поняття оберненої матриці. Теорема про єдиність оберненої матриці. Обчислення оберненої матриці за допомогою методу Гаусса. Застосування оберненої матриці до розв’язання СЛР.

11.1. Вступ до матричної алгебри.

Як ми вже зазначали раніше, систему лінійних рівнянь

можна подати у векторно-матричному вигляді:

В цьому виразі через позначено основну матрицю СЛР:

— вектор-стовпчик змінних, — вектор-стовпчик вільних членів .

Вираз належить до матричної алгебри і означає добуток матриці на вектор . Ми ще не знаємо, що це таке, і поки що приймемо на “віру, що він існує і схожий за властивостями на добуток чисел. Нехай тепер і — це два розв’язки СЛР , тобто і . Нехай, далі, — довільне число. Утворимо вектор . Тоді

Таким чином, і, отже, є розв’язком СЛР . Наведені міркування є основною частиною доведення основної теореми про множину розв’язків СЛР і демонструють те, як матрична алгебра допомагає “компактивізувати” громіздкі вирази. Взагалі матрична алгебра має справу з алгебраїчними виразами, змінними у яких можуть бути не тільки числові, а й матричні. Матриця — це, так би мовити, форма організації пов’язаних між собою даних у вигляді прямокутної таблиці. Над матрицями можна виконувати арифметичні операції, які багато в чому схожі на операції над векторами і над числами. Лінійні економічні моделі складаються з рівнянь і нерівностей, які формалізують лінійний зв’язок між відповідними даними і які є виразами матричної алгебри.

Означення матриці. Матриця — це прямокутна таблиця, елементами якої є числа або числові змінні (зокрема, алгебраїчні вирази); кожен елемент має два індекси: номер рядка і номер стовпчика, на перетині яких він знаходиться:

Можна сказати, що індекси визначають положення (позицію) елемента матриці і є його “координатами” в таблиці (аналогія з шаховою дошкою).

Кількість рядків і кількість стовпчиків матриці називаються розмірами матриці.

Частинними випадком матриці є багатовимірні вектори-рядки і вектори-стовпчики.

Матрицю можна подати як сукупність рядків:

, тут - відповідно перший, другий, … останній рядки матриці : .