12.8. Теорема Крамера (загальний випадок).

Сформульоване означення визначника n-го порядку дозволяє сформулювати і довести теорему Крамера для загального випадку.

Теорема Крамера. Нехай є квадратна система лінійних рівнянь

Якщо визначник основної матриці відмінний від нуля, то ця СЛР має і до того ж єдиний розв’язок, який можна обчислити за формулами Крамера:

, де

12.9. Інтерполяційний многочлен.

Прогнозування розвитку певних процесів і подій є однією з найважливіших задач будь-якої науки. Зрозуміло, за законом інерції, що майбутнє в значній мірі визначається минулим. Алгебраїчна конструкція, яка називається інтерполяційним поліномом, дозволяє обґрунтовано підрахувати очікувані значення чисельних показників, що характеризують певний динамічний процес. Наприклад, зміни курсів валют: маємо дані спостережень за певний проміжок часу; що є найімовірнішим назавтра, чи залишиться курс незмінним, чи він зросте, чи впаде?

З позиції математики на цю проблему можна дивитись так: є дані спостережень за числовою величиною (валютний курс), яка залежить від числової величини (час):

;

треба відшукати конкретну функцію, бажано – задану аналітично, тобто формулою, яка у заданих значеннях величини („моментах спостереження”) набувала б відповідних, тобто спостережених, значень величини . За шукану функцію можна взяти многочлен:

степеня (такий многочлен визначається своїми коефіцієнтами, що відповідає такій самій кількості спостережень).

Підставимо у формулу многочлена відповідні значення :

Відносно невідомих коефіцієнтів многочлена – це система лінійних рівнянь. Вона є квадратною: п х п. Розглянемо визначник цієї СЛР:

.

Цей визначник має особливу назву – визначник Вандермонда – за іменем математика, який дослідив його і встановив для нього формулу:

,

де є стандартним позначенням в математиці для добутку:

Як бачимо, добуток складається з відмінних від нуля множників, а отже, основний визначник СЛР, утвореної для пошуку невідомих коефіцієнтів інтерполяційного полінома, відмінний від 0. Звідси, з використанням теореми Крамера, отримуємо:

Теорема (про інтерполяційний поліном).

Для будь-якої кількості п пар чисел існує, і до того ж єдиний, поліном степеня п-1, такий, що .

Наведене вище доведення цієї теореми є конструктивним, воно вказує спосіб знаходження інтерполяційного полінома за допомогою відповідної СЛР.

Приклад. Знайти квадратний тричлен , для якого виконувалося б: .

Складаємо СЛР:

Ця СЛР має невеликі розміри і коефіцієнти при невідомих; використаємо для її розв’язання метод Гаусса

.

Шуканий інтерполяційний многочлен:

.

§13. Лінійна залежність і незалежність n-вимірних векторів.

Попередні навідні факти (розклад векторів за базисом, колінеарність векторів, розклад вектора на площині за парою неколінеарних векторів, компланарність, розклад вектора у просторі за трійкою некомпланарних векторів, система лінійних рівнянь як питання про можливість розкладу стовпчика вільних членів за стовпчиками основної матриці, рівняння-наслідки в системах лінійних рівнянь). Варіанти означень понять лінійної залежності і незалежності систем n-вимірних векторів. Лінійна залежність і незалежність в ℝ² і ℝ³. Лінійна залежність і незалежність і елементарні перетворення систем n-вимірних векторів. Базиси n-вимірних векторних просторів. Ранг матриці. Основна теорема про лінійну незалежність (детермінантний критерій). Критерій сумісності систем лінійних рівнянь (теорема Кронекера-Капеллі).