10.2. Поняття загального розв’язку слр.

Зазначене поняття пов’язане з поняттям СЛР, розв’язаної відносно деякого набору змінних.

Приклад.

Перенесемо доданки з і у праві частини рівнянь:

Ці дві СЛР еквівалентні між собою.

Означення (еквівалентних СЛР). Дві СЛР звуться еквівалентними, якщо вони мають однакову множину розв’язків, тобто кожний розв’язок однієї СЛР є розв’язком іншої, і навпаки.

З останнього вигляду СЛР ми бачимо, що якщо змінні і набули якогось значення, тоді миттєво визначається значення і , тобто тих змінних, які залишилися в лівій частині. Це означає, що вектор

стає розв’язком СЛР кожного разу, як тільки змінні і набудуть якихось значень. Цей вектор задає всі розв’язки СЛР.

Означення (СЛР, розв’язаної відносно деякого набору змінних). Система лінійних рівнянь зветься розв’язаною відносно деякого набору змінних, якщо в кожному рівняння знайдеться така змінна, яка входить в це рівняння з коефіцієнтом , а в решту рівнянь з коефіцієнтом .

У наведеному вище прикладі СЛР розв’язана відносно і .

Можна дати еквівалентне означення СЛР розв’язаної відносно деякого набору змінних, пов’язане з поняттям одиничного базису -вимірного простору, яке було введене в §9.

Означення (друге означення СЛР, розв’язаної відносно деякого набору змінних). СЛР зветься розв’язаною відносно деякого набору змінних, якщо сукупність стовпчиків основної матриці містить базис - вимірного простору ( ).

Для нашого прикладу маємо:

; ; ; .

Серед стовпчиків є базис двовимірного простору, це і .

Означення (третє означення СЛР, розв’язаної відносно деякого набору змінних). СЛР зветься розв’язаною відносно , якщо з точністю до перестановки доданків ліві частини рівнянь можуть бути записані у вигляді:

У вказаному випадку базис -вимірного простору утворюють вектори .

Означення (загального розв’язку СЛР). Нехай СЛР розв’язана відносно , тоді змінні можна виразити через решту змінних, тобто записати:

.

n-вимірний вектор зветься загальним розв’язком СЛР. Змінні - звуться базисними змінними. Решта змінних звуться вільними змінними. У загальному розв’язку вільні змінні розташовані на своїх місцях, а на місці базисних змінних стоять їх вирази через рівні змінні.

10.3. Елементарні перетворення слр .

Для того, що отримати загальний розв’язок СЛР, треба, щоб ця СЛР була розв’язана відносно деякого набору змінних. Це можна зробити за допомогою так званих елементарних перетворень.

Означення (елементарних перетворень).

Елементарними перетвореннями СЛР звуться перетворення одного з двох таких видів:

1. рівняння  (рівняння ) ,

множення -го рівняння на число, відмінне від 0;

Позначення: ;

2. рівняння  рівняння +(рівняння ) , - довільне число,

- додавання до -го рівняння -го рівняння, помноженого на деяке число;

Позначення: .

Зауважимо, що в результаті одного елементарного перетворення змінюється лише одне рівняння СЛР. Решта рівнянь залишаються незмінними.

Приклад.

(СЛР-1)

Застосовуємо до даної СЛР перетворення:

( до другого рівняння додати перше рівняння, помножене на 2). В результаті цього перетворення зміниться тільки друге рівняння. На місці другого рівняння треба записати результат перетворення. Перше рівняння переписуємо у незмінному вигляді:

(СЛР-2)

СЛР-2 є, таким чином, наслідком СЛР-1, і кожний розв’язок СЛР-1 буде також розв’язком СЛР-2.

Тепер виконаємо перетворення над СЛР-2:

.

В результаті отримаємо:

Це є якраз СЛР-1. Отже, СЛР-1 є, у свою чергу, наслідком СЛР-2, і, значить, кожний розв’язок СЛР-2 є також розв’язком СЛР-1. Таким чином, множини розв’язків СЛР-1 і СЛР-2 співпадають.

Метод Гауса дозволяє не тільки відшукати загальний розв’язок, а ще й проаналізувати СЛР на сумісність.