12.1. Аналіз спільних властивостей визначників 2-го та 3-го порядку.

Поява в математиці поняття визначника пов’язана з теоремою і правилом, які Крамера історично і у нашому посібнику з’явились у ході розв’язання задачі про перетин прямих ліній і площин. Ця задача алгебраїчно зводиться до розв’язання квадратних СЛР, і формули для обчислення значень невідомих містять однакові за алгебраїчною структурою вирази, що й стало підґрунтям для введення поняття визначника (див. §§ 2,8):

,

Для того, щоб узагальнити теорему Крамера на випадок СЛР довільного розміру треба узагальнити поняття визначника. Проаналізуємо формули обчислення визначників 2-го і 3-го порядків з використанням при цьому подвійної індексації елементів визначника.

Ми бачимо, що кожний з визначників є сума доданків, а кожний доданок є добутком елементів матриці визначника, взятих в точності по одному з кожного рядка і з кожного стовпчика матриці. Це еквівалентно умові: після розташування множників в порядку зростання перших індексів другі індекси утворюють перестановку чисел 1, 2, 3; або: і перші і другі індекси множників утворюють перестановку чисел 1, 2, 3:

,

.

Отже, „секрет” приховано в перестановках індексів. Наша мета - зуміти виділити таку властивість перестановки, яка б визначала знак доданку-добутку через вигляд перестановки других індексів, коли множники розташовані у порядку зростання перших індексів. У наведених вище формулах маємо:

для визначника 2-го порядку:

перші індекси (1, 2) (1, 2)

другі індекси (1, 2) (2, 1)

для визначника 3-го порядку:

перші індекси (1, 2, 3) (1, 2, 3) (1, 2, 3) (1, 2, 3) (1, 2, 3) (1, 2, 3)

другі індекси (1, 2, 3) (2, 3, 1) (3, 1, 2) (3, 2, 1) (1, 3, 2) (2, 1, 3)

Аналіз перестановок других індексів приводить до поняття інверсії.

Означення (інверсії). Нехай - деяка перестановка чисел . Виділимо в цій перестановці 2 елементи, не обов’язково сусідні:

Говорять, що пара утворює інверсію, якщо більше з чисел зустрічається в перестановці раніше меншого

- інверсія

Перестановка називається парною, якщо сумарна кількість інверсій в ній є парним числом і непарною, якщо кількість інверсій - непарне число.

Підрахуємо сумарну кількість інверсій кожній з перестановок других індексів запису визначника 3-го порядку.

перші індекси: 123 123 123 123 123 123,

другі індекси : 123 231 312 121 132 213,

кількість інверсій: 0 2 2 3 1 1.

Висновок: доданок-добуток береться із знаком +, якщо при упорядкованих 1-их індексах другі індекси утворюють парну перестановку і відповідно із знаком -, якщо другі індекси утворюють непарну перестановку.

Виявлені властивості визначників 2-го і 3-го порядку приймаються за означення визначників n-го порядку.

12.2. Поняття визначника n-го порядку.

Означення (визначника n-го порядку). Визначником n-го порядку (точніше визначником квадратної матриці розмірів n х n) називається алгебраїчна сума добутків, в кожний з яких потрапляє в точності по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика матриці; добуток береться із знаком “+”, якщо при упорядкованих 1-ших індексах множників другі індекси утворюють парну перестановку, із знаком “-“:

Приклади.

1. Встановити, чи входить добуток у визначник 7-го порядку, а якщо так, то з яким знаком.

Переставимо множники в порядку зростання перших індексів:

Цей добуток у визначник не входить. Елемента з першим індексом 2 немає, а два елемента з другим індексом 4 не може бути в одному добутку.

2. Встановити, чи входить добуток у визначник 7-го порядку, а якщо так, то з яким знаком.

Переставляємо множники: .

Перші індекси: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;

другі індекси: 7, 5, 4, 6, 3, 1, 2.

Другі індекси утворюють перестановку. Це означає, що в цей добуток потрапили елементи з кожного рядка і з кожного стовпчика матриці 7-го порядку, до того ж тільки по одному. В цій перестановці, наприклад, (5; 3) - інверсія, (4; 6) - порядок, (7; 4)- інверсія і т.і.:

(7,5) (7,4) (7,6) (7,3) (7,1) (7,2) - 6

(5,4) (5,3) (5,1) (5,2) - 4

(4,3) (4,1) (4,2) - 3

(6,3) (6,1) (6,2) - 3

(3,1) (3,2) - 2

Сумарна кількість інверсій: . Отже, перестановка других індексів є парною.

Відповідь: добуток входить у визначник 7-го порядку зі знаком “+”.