10.4. Перетворення виключення.

Нехай маємо деяку СЛР. Виділимо в цій СЛР якесь рівняння, а в цьому рівнянні — змінну з ненульовим коефіцієнтом. За допомогою перетворення першого типу коефіцієнт при цій змінній можна зробити рівним . За допомогою елементарних перетворень другого типу робимо коефіцієнти при цій змінній в решті рівнянь рівними ; це називається: виключаємо цю змінну в решті рівнянь. Сукупність елементарних перетворень, що саме так діють на СЛР, називається повним перетворенням виключення.

10.5. Умова несумісності слр.

СЛР називається сумісною, якщо вона має принаймні один розв’язок. СЛР називається несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку. Достатньою умовою несумісності СЛР є наявність в системі хоча б одного рівняння вигляду

.

Теорема (критерій несумісності СЛР). Для того, щоб СЛР була несумісною, необхідно і достатньо, щоб в процесі виконання елементарних перетворень виключення з’явилось хоча б одне рівняння вигляду

.

10.6. Вилучення залежних рівнянь.

Якщо СЛР має в своєму складі рівняння вигляду

,

то це рівняння задовольняє будь-який -вимірний вектор. Тому таке рівняння не накладає ніяких додаткових особливих обмежень на множину розв’язків СЛР, воно ніяк не впливає на множину розв’язків СЛР. Якщо СЛР складається тільки з таких рівнянь, то її множина розв’язків співпадає з усім векторним простором . Якщо СЛР має ще й неповністю нульові рівняння, тоді кожне повністю нульове рівняння, можна викинути з СЛР без усяких наслідків для множини розв’язків. Обгрунтування цього висновку дається в §13. Якщо в процесі елементарних перетворень будуть з’являтися повністю нульові рівняння, то їх можна вилучати з подальшого розв’язку.

Принципово питання про знаходження розв’язку СЛР вже вирішено. Залишається сформулювати обчислювальний алгоритм, який дає можливість знайти спільний розв’язок системи, одночасно аналізуючи її на сумісність й виключаючи лінійно залежні рівняння.

10.7. Алгоритм методу Гауса.

Знаходимо “незадіяне” рівняння

У взятому рівняння знаходимо незадіяну змінну з коефіцієнтом 0

Здійснюємо перетворення виключення

Перевіряємо умову несумісності,

вилучаємо нульові рівняння

Якщо після закінчення роботи алгоритму Гауса не було зафіксовано умову нерозв’язності і всі змінні виявились виділеними (тобто в системі не залишилось вільних змінних), СЛР має єдиний розв’язок.

10.8. Матрична форма методу Гауса.

Зрозуміло, що перетворення виключення можна виконувати не над рівняннями, а над рядками матриці, що складаються з коефіцієнтів при невідомих і вільних членів. Така можливість зумовлена існуванням взаємно однозначної відповідності між елементарними перетвореннями рівнянь і елементарними перетвореннями рядків розширеної матриці СЛР. Це дозволяє не дописувати до коефіцієнтів змінні, і, отже, суттєво скоротити й спростити вирази.

Приклад (одне перетворення виключення в матричній формі).



Матриці А і В можна тлумачити як розширені матриці деякої СЛР.