8.4. Теорема Крамера для квадратних слр.

У §2 при розгляді питання про перетин прямих ліній і площин були виведені детермінантні формули для знаходження значень невідомих квадратних СЛР 2-го і 3-го порядку. Нагадаємо ці формули.

Для СЛР розмірів 2х2:

, ,

де , , ,

тобто

, .

Приклад. Нехай маємо СЛР .

Основний та допоміжні визначники: ,

, ;

Розв’язок (значення змінних):

, .

Перевірка:

Для СЛР розмірів 3х3:

,

де

Як бачимо, правило Крамера однакове за формулюванням як для СЛР 2х2, так і для СЛР 3х3; тТак само однаково, за принципом побудови виглядають основний і допоміжні визначники СЛР:

якщо основний визначник СЛР відмінний від нуля,

то СЛР має, і до того ж єдиний, розв’язок;

значення невідомих дорівнюють відношенню

відповідного допоміжного визначника до

основного визначника СЛР;

основний визначник утворений з коефіцієнтів

при невідомих, допоміжні визначники утворені

з основного заміною в ньому стовпчика

коефіцієнтів при відповідній змінній

на стовпчик вільних членів.

Цю закономірність вперше побачив у 1750р. швейцарський математик Габріель Крамер (1704 – 1752), що підштовхнуло його до ідеї про поняття визначника як певної складної операції, яка виконується над елементами матриці і результатом якої є число. Природньо постало питання про узагальнення отриманих формул на випадок довільної квадратної СЛР. Для того, щоб узагальнити теорему і правило Крамера на випадок СЛР довільного розміру треба узагальнити поняття визначника. Це узагальнення було здійснене не одразу. Лише у 1840 р. після публікації роботи німецького математика Якобі „Про побудову і властивості визначників” визначники увійшли у загальне користування математиків. У посібнику цьому присвячений §12 “Визначники -го порядку, їх обчислення та застосування”.

§9. Лінійні векторні простори.

Загальне поняття лінійного векторного простору та його підпросторів. Приклади (простір многочленів, простір матриць, простір функцій). Ізоморфізм векторних просторів. Арифметичний лінійний -вимірний векторний простір та його геометрія (норма -вимірного вектора; гіперколо, гіперсфера, гіперплощина, гіперпряма, півпростір; нерівність Коші-Буняковського, нерівність трикутника, кут між -вимірними векторами; опуклі множини, опуклі многогранники).

9.1. Загальне поняття лінійного векторного простору.

Введення абстрактного поняття -вимірного вектора, здійснене в §8, узагальнює й об’єднує різні математичні об’єкти (конструкції), які інформаційно визначаються упорядкованими наборами (послідовностями) чисел, як, наприклад, розв’язки систем лінійних рівнянь. Природньо і логічно розглядати множину усіх -вимірних векторів, та ще й з урахуванням того, що над такими векторами можна виконувати арифметичні операції. Сам термін „вектор” бере походження з аналітичної геометрії, де геометричному поняттю вектора через посередництво системи координат поставлений у взаємно однозначну відповідність набір чисел – координат вектора. Координатне подання операцій над „звичайними” векторами, яке ми виводимо з означення операцій логічно і природньо веде до означення арифметичних операцій над -вимірними векторами (воно береться за означення): помножити вектор на число означає помножити на це число кожну координату, додати або відняти два вектора означає додати або відняти їх відповідні (одноіменні) координати, перемножити скалярно два вектори означає утворити суму добутків відповідних координат. Ці поняття не є „узагальненням заради узагальнення”, вони одразу ж починають „працювати” і дають загальний погляд на системи лінійних рівнянь (СЛР) та їх розв’язки, суттєво полегшують аналіз і спрощують доведення властивостей СЛР, зокрема, доведення основних теорем про розв’язки СЛР (див. §8).

Знову ж таки, цілком природньо виникає загальне поняття лінійного векторного простору без атрибуту -вимірний. І знову ж таки, як ми побачимо, це поняття не є „голою абстракцією”.

Означення (загальне означення лінійного векторного простору).

Лінійним векторним простором називається множина , на якій визначені дві операції: 1) множення елементів з на числа та 2)додавання будь-яких двох елементів з , причому ці операції мають властивості:

,

,

,

,

,

.

Дане означення здійснює так зване аксіоматичне задання лінійного векторного простору як абстрактного математичного об’єкту. Далі ми розглянемо декілька конкретних прикладів лінійних векторних просторів.

Нехай m і n – деякі довільні фіксовані натуральні числа. Позначимо M_mn множину усіх прямокутних матриць розмірів m х n, тобто матриць виду:

.

У §11 розглядаються елементи матричної алгебри і, зокрема, вводяться операції множення матриць на число та додавання матриць:

, ,

.

Як бачимо, множення матриці на число і додавання матриць — повний аналог відповідних операцій над n–вимірними векторами. При цьому можна подумки „розтягнути” матрицю в один рядок, записавши її рядки один за одним:

Матриця – прямокутна таблиця – „перетворилась” у -вимірний вектор. Таким чином, можна сказати, що множина M_mn усіх прямокутних матриць розмірів m х n є лінійним -вимірним векторним простором.

Розглянемо множину F_n усіх алгебраїчних многочленів степеня не вище n з дійсними коефіцієнтами:

Абсолютно очевидно, що F_n є лінійним векторним простором і, оскільки многочлен визначається своїми коефіцієнтами (яких є n+1)

,

то F_n є (n+1) -вимірним лінійним векторним простором.

Так само абсолютно очевидно, що лінійним векторним простором є множина всіх функцій. Тільки цей векторний простір вже не є скінченно вимірним. Строге означення поняття розмірності пов’язане з поняттям базису векторного простору і розглядається в §13. Але й нескладні інтуїтивні міркування дають підставу для висновку про нескінченновимірність простору усіх функцій: адже цьому простору належать, зокрема, многочлени будь-яких степенів, що не дозволяє обмежитись якоюсь фіксованою кількістю чисел для подання наборами таких чисел усіх многочленів, а отже, й усіх функцій.

Отже, можна розглядати багатовимірні векторні простори, елементи яких можуть мати різну природу, але з точки зору алгебри такі різні простори будуть абсолютно однаковими. В такій ситуації говорять про ізоморфізм відповідних об’єктів.