11.2. Арифметичні операції над матрицями.

11.2.1. Множення матриці на число.

Ця операція цілком аналогічна відповідній операції над векторами.

, ,

,

тобто, помножити матрицю на число - це значить помножити кожний елемент цієї матриці на деяке число.

11.2.2. Додавання та віднімання матриць.

Сума і різниця можуть бути визначені лише для таких матриць, які мають однакові відповідні розміри.

Нехай задані дві матриці однакових розмірів: і .

, .

Тоді:

.

Аналогічно визначається різниця двох матриць:

.

Додавання та віднімання матриць — повний аналог додавання та віднімання векторів. Додавати та віднімати можна матриці тільки однакових розмірів. При додаванні (відніманні) матриць додаються (віднімаються) відповідні елементи цих матриць. Поняття операцій множення матриці на число і додавання (віднімання) матриць узагальнює відповідні поняття з векторної алгебри.

11.2.3. Множення матриці на матрицю.

Множення матриці на матрицю - є віддаленими поняттям множення чисел і множення векторів. Множити матриці можна тільки в тому випадку, коли вони своєрідно узгоджені за розміром: кількість стовпчиків у першому множнику повинна дорівнювати кількості рядків у другому множнику:

, .

-стовпчиків -рядків

Означення (Добутку двох матриць). Добутком двох матриць і , узгоджених за розмірами, називається така матриця, кількість рядків якої дорівнює кількості рядків першого множника, кількість стовпчиків дорівнює кількості стовпчиків другого множника, а елементи добутку є скалярними добутками відповідних векторів-рядків першого множника і векторів-стовпчиків другого множника.

B

AB

A

 =

(3х5) (5х1) (3х1)

.

В розгорнутому вигляді добуток виглядає так:

Це, можна сказати, найбільш цікава операція над матрицями. Вона є віддаленим аналогом множення чисел і множення векторів. Ця операція відповідає операції композиції двох послідовних лінійних замін змінних.

11.3. Економічне тлумачення операції матричного множення.

Розглянемо приклад, який відноситься до математичної економіки.

Нехай ми маємо виробництво, яке виробляє видів продукції і використовує для цього видів сировини .

Нехай, далі, нам відома така технологічна інформація: для виробництва одиниці продукції (ця одиниця може бути як фізична — “штука”, — так і умовна) потрібно одиниць сировини . Величини утворюють матрицю:

,

-й рядок якої

—

це “все”, що необхідно для випуску одиниці продукції .

Зараз можна поставити питання: яку кількість сировини кожного виду необхідно для виконання плану виробництва ? Якщо відповідні кількості сировини зібрати у вектор , то

.

Тепер припустимо, що сировина кожного виду є, так би мовити, “напівфабрикатом”, який виготовляється з “первинної” сировини . Тоді можна утворити матрицю

,

яку можна назвати технологічною матрицею первинного виробництва. Тоді кількості первинної сировини кожного виду, які ми “зберемо” у вектор і які потрібні для виготовлення напівфабрикатів у кількостях, що відповідають вектору , будуть визначатися за формулою:

.

Якщо тепер в цю формулу підставити замість відповідний добуток з формули , то ми отримаємо формулу, яка буде визначати кількість первинної сировини, необхідну для виконання плану виробництва :

(використовуючи властивість асоціативності матричного множення).

З точки зору алгебри співвідношення і називаються лінійними перетвореннями відповідних величин в і в , які визначаються відповідними матрицями і . Формула виражає результуюче перетворення. В алгебрі його називають композицією, або множенням відповідних перетворень.

Як ми бачимо, операція множення матриць визначена таким чином, що множенню (композиції) лінійних перетворень відповідає множення відповідних матриць.