12.5. Розкладення визначника за елементами рядка (або стовпчика).
Якщо визначник має рядок або стовпчик, які містять досить багато нулів, доцільно його розкласти за елементами такого рядка чи стовпчика; це скоротить кількість обчислень. У такому випадку не треба знаходити алгебраїчні доповнення до елементів, що дорівнюють 0 (добуток 0 на будь-яке алгебраїчне доповнення дорівнює 0).
Формула розкладу визначника за елементами рядка або стовпчика має вигляд:
.
В цій формулі - алгебраїчні доповнення елементів матриці :
,
де
— мінор матриці
— визначник, отриманий з
викреслюванням
-го
рядка і
-го
стовпчика.
Ця формула словами промовляється так: визначник дорівнює сумі добутків елементів якого-небудь рядка (стовпчика) на їх алгебраїчні доповнення.
Приклад. Обчислимо визначник розкладенням за елементами другого стовпчика:
Для ефективного використання методу обчислення визначника шляхом його розкладення за елементами будь-якого рядка або стовпця можна зробити еквіваленті перетворення матриці визначника, які дають можливість одержати нулі у деякому рядку або стовпці.
Приклад. Обчислити визначник 4-го порядку.
Розв’язування. Перетворимо цей визначник таким чином, щоб зробити якомога більше нулів у якомусь стовпчику, краще у першому, бо там вже є один нуль. Для цього елементи першого рядка помножимо на 3 та додамо до відповідних елементів 3-го рядка, потім елементи 1-го рядка помножимо на
(-5) та додамо до відповідних елементів 4-го рядка. Одержимо визначник:
Тепер визначник доцільно розкласти за елементами першого стовпця:
12.6. Детермінантна формула для оберненої матриці.
Алгебраїчні доповнення елементів матриці беруть участь у формулі для обчислення оберненої матриці:
Справедливість цієї формули випливає з такої властивості алгебраїчних доповнень:
сума добутків елементів якого-небудь рядка матриці
на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка
дорівнює 0
(те саме вірно для стовпчиків).
Вправа. Довести вказану властивість самостійно.
Вказівка. Пересвідчитись, що сума добутків елементів якого-небудь рядка матриці на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка дорівнює визначнику, що має два однакові рядки; далі скористатися відповідною властивістю – див. п.12.7.
Приклад. Обчислимо за детермінантною формулою обернену матрицю до матриці
.
Обчислюємо визначник (розкладом за елементами першого рядка):
,
отже обернена матриця існує:
=
.
12.7. Властивості визначників.
Ми вже наводили і використовували деякі важливі властивості визначників. Тут ми даємо зведену інформацію з цього питання.
Визначник при транспонуванні не змінюється. Пояснення дамо на прикладі визначників другого порядку. Нехай:
Праві частини
рівні, тому і ліві також рівні, тобто
.
Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які 2 рядки (стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.
Наприклад:
,
,
отже
=
-
.
Якщо визначник має 2 однакових рядки (стовпця), то він дорівнює 0.
Дійсно, якщо ми поміняємо місцями рівні рядки (стовпці), то визначник не зміниться, але згідно властивості 2 він повинен змінити знак на протилежний. Тому визначник дорівнювати 0.
Наприклад:
Якщо у визначнику усі елементи одного рядка (стовпця) помножити на однакове дійсне число k, то визначник зміниться в k разів.
Наприклад:
тобто
,
але
одержано з визначника
шляхом множення усіх елементів першого
рядка на
.
Наслідок 1. Спільний множник усіх елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника можна винести за знак визначника.
Наслідок 2. Якщо усі елементи будь-якого рядка (стовпця) визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює 0.
Визначник, у якого відповідні елементи двох будь-яких рядків (стовпців) пропорційні, дорівнює нулю. Доведення цієї властивості випливає з властивостей 3 та 4.
Якщо у визначнику елементи і-го рядка (к-го стовпця) є сумою двох доданків, тоді він дорівнює сумі двох відповідних визначників.
Наприклад:
Якщо до всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця) цього визначника, помножені на одне й те ж саме число, то визначник не зміниться.
Приклади на цю властивість вже наведено раніше.