13.2. Загальне поняття лінійної залежності і незалежності.

Після розгляду, виконаного в п. 13.1, залишається просто зробити загальний підсумковий висновок, і ми отримаємо загальне поняття лінійної залежності і незалежності систем n-вимірних векторів.

Означення (перше означення лінійної залежності і незалежності).

Система n-вимірних векторів називається лінійно залежною, якщо хоча б один вектор цієї системи лінійно виражається через інші вектори, тобто може бути поданий у вигляді лінійної комбінації інших векторів:

,

і лінійно незалежною в іншому випадку (тобто, якщо жоден вектор цієї системи не виражається лінійно через інші вектори).

Це означення є прямим означенням лінійної залежності і опосередкованим означенням лінійної незалежності. Воно не єдине. Друге означення використовує спеціальний термін: тривіальна (нетривіальна) лінійна комбінація – це така лінійна комбінація n-вимірних векторів

,

у якої всі коефіцієнти дорівнюють 0: (відповідно хоча б один коефіцієнт відмінний від нуля).

Означення (друге означення лінійної залежності і незалежності).

Система n-вимірних векторів називається лінійно залежною, якщо знайдеться нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, яка дорівнює нуль-вектору:

,

і лінійно незалежною в іншому випадку (тобто, якщо жоден вектор цієї системи не виражається лінійно через інші вектори).

Теорема (про еквівалентність означень лінійної залежності і незалежності).

Перше і друге означення лінійно залежних (лінійно незалежних) систем векторів є еквівалентними, тобто з лінійної залежності (незалежності) системи векторів за першим означенням випливає її лінійна залежність (незалежність) за другим означенням і навпаки.

Д о в е д е н н я.

Доведемо, що з 2-го означення випливає 1-е. Нехай система векторів є лінійно залежною за 2-м означенням і нехай маємо лінійну комбінацію

,

в якій, скажімо, . Виконаємо декілька еквівалентних (в школі вживають термін тотожних) алгебраїчних перетворень. Поділимо рівність на :

.

Перенесемо всі доданки, крім в праву частину рівності:

:

вектор лінійно виразили через інші вектори, тобто система векторів є лінійно залежною за першим означенням.

Вправа. Довести, що з першого означення випливає друге.

Як вже було зазначено, розглянуті означення є прямими означеннями лінійної залежності і опосередкованими означеннями лінійної незалежності. Абсолютно неважко дати пряме означення лінійної незалежності, наприклад таке:

Означення (пряме означення лінійної незалежності).

Система n-вимірних векторів називається лінійно незалежною, якщо лише тривіальна лінійна комбінація цих векторів дорівнює нуль-вектору:

.

13.3. Лінійна залежність в ℝ2 і ℝ3.

В п. 13.1 ми згадали поняття з аналітичної геометрії: колінеарності 2-х векторів і компланарності 3-х векторів і встановили, що

колінеарність двох векторів і ;

компланарність трьох векторів .

Тепер, маючи загальне означення лінійної залежності і незалежності, констатуємо:

колінеарність двох векторів еквівалентна їх лінійній залежності;

компланарність трьох векторів еквівалентна їх лінійній залежності.

Тепер ще одне спостереження. При множенні вектора на число координати множаться на те саме число, отже, відповідні координати колінеарних векторів пропорційні:

.

Ми отримали детермінантний критерій колінеарності ( лінійної залежності) двох двовимірних векторів: визначник, складений з їх координат, дорівнює 0.

Якщо згадати зв’язок компланарності і операцію змішаного множення трьох векторів, і геометричний зміст змішаного добутку, і координатне подання змішаного добутку (див. § 6), то ми отримаємо

детермінантний критерій колінеарності

( лінійної залежності) трьох тривимірних векторів:

визначник (3-го порядку),складений з їх координат, дорівнює 0.

Практично, основна робота щодо аналізу поняття лінійної залежності і незалежності для двовимірного і тривимірного просторів виконана, залишається зробити підсумкові висновки.

Теорема (про лінійну залежність і незалежність в ℝ²).

• два вектори в ℝ² лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні;

• два вектори в ℝ² лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з їх координат, дорівнює 0;

• три і більше векторів в ℝ² лінійно залежні завжди.

Вправа. Дати повне доведення теореми.

Теорема (про лінійну залежність і незалежність в ℝ³).

• три вектори в ℝ³ лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони компланарні;

• три вектори в ℝ³ лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з їх координат, дорівнює 0;

• чотири і більше векторів в ℝ³ лінійно залежні завжди.

Вправа. Дати повне доведення теореми.