Розділ II.

Розв’язання та дослідження систем лінійних рівнянь (СЛР) та нерівностей (СЛН) — це, напевно, найбільш поширена (ще кажуть: масова) задача обчислювальної математики. Ця задача зустрічається “на кожному кроці” в аналітичній геометрії, вона виникає при дослідженні і розв’язанні прикладних “реальних” задач, якщо при цьому застосовується метод математичного моделювання. Справа в тому, що найбільш простими є лінійні моделі, тобто моделі, які складаються з лінійних функцій, лінійних рівнянь і лінійних нерівностей. Навіть якщо модель є нелінійною, то її якісні властивості в значній мірі визначаються так званим лінійним наближенням. При цьому розв’язання СЛН зводиться за допомогою спеціальної техніки до розв’язання СЛР.

Так само, як аналітична геометрія немислима без векторної алгебри, так лінійна алгебра немислима без теорії лінійних векторних просторів.

Загальна СЛР – це абстрактний суто алгебраїчний об’єкт. Але СЛР від 2-х або 3-х змінних мають прозоре геометричне тлумачення. Завдяки аналітичній геометрії на такі СЛР можна дивитися як на задачі пошуку перетину прямих або площин. Ця обставина підштовхнула до введення в теорію систем лінійних рівнянь геометричних термінів, що, так би мовити, прив’язало до абстрактних чисел геометричні фігури і дозволило підключити геометричну інтуїцію. Так з’явились поняття п-вимірного вектора і п-вимірної точки – елементів п-вимірного векторного простору, в якому існують узагальнені прямі, площини, многогранники, опуклі фігури, косинуси кутів; поняття лінійної залежності п-вимірних векторів узагальнює поняття колінеарності і компланарності звичайних векторів.

З іншого боку теорія СЛР ініціювала введення нових корисних алгебраїчних понять, в першу чергу матриць і операцій над матрицями. Загальне поняття визначника п-го порядку дозволило узагальнити на випадок довільних квадратних СЛР теорему і правило Крамера.

Нові абстрактні алгебраїчні поняття виявились надзвичайно корисними в математичному аналізі, де розгляд і дослідження функцій багатьох змінних без цих понять був би взагалі неможливим.

§8. Системи лінійних рівнянь і n-вимірні вектори.

Значення СЛР в прикладній математиці. Приклади СЛР. Загальний розгорнутий запис СЛР. Поняття розв’язку СЛР. Поняття n-вимірного вектору. Операції над n-вимірними векторами (множення вектора на число, додавання і віднімання векторів, скалярне множення векторів). Поняття n-вимірного лінійного (арифметичного) векторного простору. 1-а та 2-а векторні і матрична форми запису СЛР. Основна теорема про множину розв’язків СЛР. Основна теорема про множину розв’язків однорідної СЛР. Теорема про зв’язок між множинами розв’язків неоднорідної СЛР і відповідної однорідної СЛР. Теорема і правило Крамера знаходження розв’язку квадратних СЛР.

8.1. Поняття системи лінійних рівнянь, системи лінійних нерівностей та їх розв’язків.

Для початку розглянемо декілька прикладів конкретних СЛР і СЛН.

1.

Ця СЛР виникла при знаходженні основи висоти деякого трикутника. Її розв’язком є (з точністю до 0.01) пара чисел (-0.85;4.75); ці числа задовольняють кожне рівняння системи, тобто при підстановці їх замість змінних – відповідно та рівняння перетворюються на числові тотожності.

2.

Ця СЛР виникла при знаходженні основи висоти просторового трикутника.

3.

Ця система лінійних нерівностей (СЛН) виникла в задачі про оптимальне планування виробництва. Її нерівності є обмеженнями на використання ресурсів (залізо і мідний дріт). Якщо ми поставимо задачу про повне використання ресурсів, ми прийдемо до СЛР:

Аналогічні задачі, які зводяться до розв’язання СЛР, виникають при виготовлені ліків, сумішей, сплавів, при розробці індивідуальної лікувальної дієти, там, де особливо важлива точність у пропорціях складових частин.

Загальний вигляд (розгорнутий запис) системи лінійних рівнянь:

Така СЛР, де (взагалі кажучи) , зветься прямокутною, якщо ж , то СЛР зветься квадратною.

У наведеному запису використовується індексація (нумерація) як змінних (невідомих), так і коефіцієнтів при змінних; останні мають подвійний індекс, який складається з номера рівняння і номера відповідної змінної; вперше таку індексацію застосував Лейбніц.

Запис системи лінійних рівнянь із використанням символу “ ”:

запис: “ ” означає: сума по від 1 до величин ; “ ” - індекс додавання (сумування).

Інші форми запису СЛР ( перша та друга векторні і матрична) дані в п. 8.2.

Якщо вільні члени всі дорівнюють , то така СЛР зветься однорідною. Якщо ж хоча б один з , то така СЛР зветься неоднорідною.

Означення (розв’язку СЛР). Набір чисел зветься розв’язком СЛР, якщо він задовольняє кожне рівняння системи, тобто мають місце числові тотожності:

(розв’язок СЛР - це не окремі , а всі разом; ці числа мають обов’язково перетворювати в тотожності кожне рівняння СЛР).