§10. Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь.

Загальна ідея методу Гауса (на прикладі). Поняття еквівалентних СЛР. Понятя СЛР, розв’язаної відносно деякого набору змінних. Поняття загального розв’язку СЛР. Поняття елементарних перетворень СЛР. Теорема про еквівалентність елементарних перетворень СЛР. Поняття перетворень виключення. Алгоритм методу Гауса (з перевірками на наявність залежних рівнянь та на прояв умови несумісності). Терема про алгоритмічну повноту методу Гауса (про те, що метод Гауса або розв’язує СЛР відносно деякого набору змінних, або встановлює несумісність СЛР). Матрична форма методу Гауса.

10.1. Загальна ідея методу Гауса.

Розглянемо ідею методу Гауса на прикладах.

Приклад 1. Розв’язати СЛР

Розв’язання. Спочатку поміняємо місцями перше та друге рівняння, щоб елемент основної матриці дорівнював 1. Одержимо:

Тепер перше рівняння помножимо на (-2) і додамо до другого (щоб одержати , а потім помножимо перше рівняння на (-3) і додамо до третього рівняння (щоб одержати ). Тоді будемо мати систему:

Тепер друге рівняння поділимо на (-5), третє рівняння поділимо на 5 і поміняємо їх місцями. Одержимо систему трикутного вигляду:

 

Отже, система має єдиний розв’язок (-1, 0, 1).

Приклад 2. Розв’язати СЛР:

Перше рівняння залишаємо без змін. До 2-го додаємо перше рівняння, помножене на (-2). До 3-го додаємо перше рівняння, помножене на (-7). Маємо:

Помітимо, що за допомогою першого рівняння є можливим виразити через інші змінні, а в перетворених 2-ому і 3-ому рівняннях змінна взагалі “не бере участі”. Значить, при застосуванні того самого способу до 2-го і 3-го рівняння, можна одну з змінних виразити через решту змінних цього ряду. Вигідно це зробити для змінної . Для цього до 3-го рівняння додаємо 2-ге, помножене на (-5). Відразу видно, що 3-е рівняння після такого перетворення “зникає”. Це є показником того, що 3-є рівняння є наслідком перших двох.

Останнє перетворення складає 2-й етап, після чого маємо систему:

Помножимо друге рівняння на (-1) й переставимо доданки таким чином, щоб першим був доданок зі змінною , а другим - доданок зі змінною .

Тепер стає зрозумілим, що змінні і можуть набувати будь-які значення, після чого з другого рівняння визначається значення змінної , а потім з першого рівняння — значення .

Процес знаходження “окремих” розв’язків СЛР можна “модернізувати”, якщо виразити змінну безпосередньо через і . Для цього можна вираження через і підставити в перше рівняння й звести подібні. А можна скористатися перетворенням того ж типу, що й застосовані раніше. А саме, додамо до першого рівняння друге, помножене на (-2):

Така система має назву розв’язаної відносно набору змінних і .

Зазначимо, що розв’язання СЛР за допомогою метода Гауса складається з виконання однотипних елементарних перетворень: до деякого рівняння (перетворюваного, “пасивного”)додають інше рівняння (перетворююче, “активне”), помножене на певне число. В результаті перетворення з того рівняння, що перетворюють виключається деяка змінна, причому в усіх перетвореннях одного етапу перетворююче (“активне”) рівняння є одним і тим самим, і змінна, яку виключають в перетворюваних рівняннях, також одна і та сама.

Відзначені елементарні перетворення, враховуючи мету, заради якої вони виконуються, називаються перетвореннями виключення.

Метод носить ім’я видатного німецького математика (“короля математиків”!), а також астронома, фізика, геодезиста Карла Фрідріха Гауса (1777-1855), який здійснив основний внесок у розробку методу.

Ідея методу Гауса полягає в тому, що змінні системи лінійних рівнянь виражаються за допомогою все меншого й меншого ряду (кількості) інших змінних, і врешті решт настає момент, коли або виявляється несумісність СЛР, або однозначно визначається значення кожної змінної, або виявляється набір змінних, які можуть приймати будь-які значення, після чого значення інших змінних теж визначається однозначно.

Метод Гауса вважається найкращим за своєю простотою і економічністю методом розв’язання СЛР.

Розв’язати СЛР означає:

1. встановити чи є вона сумісною (тобто, чи має вона хоча б один розв’язок);

2. чи має вона в точності один розв’язок і знайти його;

3. чи має СЛР безліч розв’язків і відшукати загальний розв’язок СЛР.