13.4. Властивості лінійно залежних і лінійно незалежних систем n-вимірних векторів.

Перелічимо деякі загальні властивості лінійно залежних і лінійно незалежних систем n-вимірних векторів, які практично безпосередньо випливають з означення; доведення цих властивостей пропонуємо в якості вправи. Отже

Вправа. Дати повне доведення тверджень, виходячи з означення лінійної залежності (незалежності):

1) Якщо система векторів містить 0-вектор, то вона лінійно залежна;

2) Якщо система векторів містить два однакових вектори, то вона лінійно залежна;

3) Якщо система векторів містить два пропорційних вектори, то вона лінійно залежна;

4) Якщо система векторів містить лінійно залежну систему векторів, то вона лінійно залежна;

5) Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи сама є лінійно незалежною;

6) Якщо система вкорочених векторів лінійно незалежна, то й сама система також лінійно незалежна;

7) Якщо система векторів лінійно залежна, то й система вкорочених векторів також є лінійно залежною;

8) Якщо три вектори a₁, a₂, a₃ лінійно залежні і вектор a₃ не виражається лінійно через вектори a₁ і a₂, то вектори a₁ і a₂ відрізняються між собою лише числовим множником.

9) Якщо вектори a₁, a₂,…, a_k лінійно незалежні, а вектори a₁, a₂,…, a_k, b лінійно залежні, то вектор b лінійно виражається через вектори a₁, a₂,…, a_k.

Вимагає пояснення поняття вкорочені вектори. Мається на увазі, що для деякої системи n-вимірних векторів

у всіх векторах вилучені деякі одні і ті самі координати, а інші координати залишились незмінними; кількість координат зменшилась; утворилась система векторів меншої розмірності – вкорочених векторів. Наприклад, в кожному з векторів деякої заданої системи „відкинемо” останні -і координати; отримаємо систему вкорочених векторів

Зауважимо також, що у запропонованих для доведення твердженнях присутні пари взаємно обернених тверджень; логічний закон контрапозиції дозволяє доводити лише одне з них. Для доведення кількох останніх тверджень доцільно використати метод від супротивного.

Теорема (Основна теорема про лінійну залежність і незалежність в ℝⁿ).

• п векторів в ℝ^п лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли визначник, складений з їх координат, дорівнює 0;

• п +1 і більше векторів в ℝ^п лінійно залежні завжди;

• будь-який п-вимірний вектор можна розкласти за будь-якою системою з п лінійно незалежних п-вимірних векторів.

Цю теорему ми даємо без доведення, але пропонуємо тим, хто не злякався абстракцій, спокійно „розкласти” перед собою означення понять, що фігурують у теоремі, як майстер розкладає інструменти перед виконанням тонкої роботи, і підключити до цього теорему Крамера у її загальному формулюванні.

13.5. Базиси n-вимірних векторних просторів.

З поняттям базису ми зустрілись в аналітичній геометрії. Там ми розглядали поняття одиничного базису координатної декартової площини і декартового простору. Одиничний базис утворюють вектори одиничної довжини, розташовані на осях координат (одиничні вектори або орти). Термін „базис” вжито з огляду на властивість одиничних векторів (причому не окремо самих по собі, а разом, – у системі) породжувати будь-які інші вектори, подаючи їх як лінійну комбінацію векторів одиничного базису:

Будь-яке узагальнення, виконане з майстерністю, має естетичну, „самодостатню” цінність; для древніх греків, скажімо, цього було б цілком достатньо; вони ігнорували прикладні „меркантильні” інтереси (проте, спитаємо ми: де зараз їх суперцивілізація?..) В аналітичній геометрії одиничний базис дуже допоміг виведенню формул координатного подання операцій векторної алгебри: скалярного множення, векторного множення і змішаного множення векторів; скалярний добуток „відповідає” за ортогональність (перпендикулярність) векторів, векторний добуток будує ортогональні вектори до векторів-множників і обчислює площі фігур, змішаний добуток „відповідає” за компланарність і обчислює об’єми тіл. Адже розклад векторів за базисом дозволяє звести обчислення результатів операцій над довільними (нескінченною кількістю) векторами до операцій над базисними векторами, можливих комбінацій яких вельми мало.

На більш загальне поняття базису, як породжуючої системи векторів, наводять вже використані раніше цікаві факти з аналітичної геометрії: будь-який вектор на площині можна розкласти за парою неколінеарних векторів, а будь-який вектор у просторі можна розкласти за трійкою некомпланарних векторів.

Отже, будь-яка пара неколінеарних векторів на площині і будь-яка трійка некомпланарних векторів у просторі утворюють базиси, тобто є породжуючими системами векторів. При цьому два неколінеарні і три некомпланарні вектори є, самі по собі, лінійно незалежними системами векторів.

Розклад векторів за парою неколінеарних і за трійкою некомпланарних має властивість однозначності: не може бути двох різних розкладів, які відрізнялися б хоча б одним коефіцієнтом. Доведемо це методом від супротивного. Припустимо, що для вектора мають місце два розклади

Якщо прирівняти ці розклади, виконати очевидні еквівалентні перетворення то ми отримаємо:

Якщо тепер припустити, що або , то ми виразимо через (або навпаки) і прийдемо до протиріччя з неколінеарністю і . Отже, наше припущення невірне.

Коефіцієнти розкладу вектора за парою неколінеарних векторів або за трійкою некомпланарних векторів – це своєрідні координати вектора у своєрідному базисі. Для їх знаходження можна скористатися методом невизначених коефіцієнтів (або параметрів).

Приклад. Знайдемо розклад вектора за векторами . Оскільки , то вектори неколінеарні, і шуканий розклад існує: . За координатним поданням операцій над векторами . Прирівнюємо відповідні координати векторів і :

Отримали систему лінійних рівнянь відносно невизначених коефіцієнтів розкладу .

Вправа. Довести обчислення коефіцієнтів до завершення.

Додамо до цього, що одиничні вектори-орти, як і будь-який інший вектор, також можуть бути розкладені за базисом, у якому вони самі беруть участь; вони також визначаються своїми координатами, наприклад, для випадку простору:

На цих фактах і ідеях ґрунтується загальне поняття базису n-вимірного векторного простору (згадуємо: n-вимірний векторний простір – це сукупність (множина) усіх n-вимірних векторів – упорядкованих n-к чисел.

Про базиси як про породжуючі лінійно незалежні системи векторів можна казати не тільки стосовно векторних просторів, а й більш загально – стосовно довільних множин (систем) векторів.

Означення (базису системи векторів).

Базисом множини (системи) n-вимірних векторів називається така її підмножина , яка, по-1-е, є лінійно незалежною, а по-2-е, усі вектори з лінійно виражаються через вектори з . У разі, якщо система співпадає з усім n-вимірним векторним простором, її базис є базисом усього n-вимірного векторного простору.

Приклад. Нехай

.

Координати векторів непропорційні, отже ці вектори неколінеарні, а звідси й лінійно незалежні. В той же час, можна перевірити (перевірити !), що вектори , так само як і є компланарними, а отже, лінійно залежними, причому і лінійно виражаються через (чому ?). Таким чином, вектори є базисом даної системи векторів . Але є не єдиним базисом цієї системи.

Вправа. Знайти всі базиси системи векторів .

Як вже було зазначено, термін „базис” характеризує породжуючу властивість відповідних систем векторів, тобто, так би мовити, „зовнішній” прояв базисів. Цікаву „внутрішню” характеризацію базисів дає

Теорема (про внутрішню характеристику базисів).

Базисом системи векторів є будь-яка максимальна лінійно незалежна підсистема цієї системи.

Д о в е д е н н я. Вимога лінійної незалежності присутня в означенні базису. Для доведення теореми треба показати, по-1-е, що коли до базису долучити ще один який-небудь вектор з даної системи, то таке розширення базису буде вже лінійно залежною системою. Дійсно, нехай є базисом системи і нехай – деякий вектор з . Тоді, за означенням базису, лінійно виражається через , і система вже не є лінійно незалежною. Далі, по-2-е, треба показати, що коли є максимальна за властивістю лінійної незалежності підсистема в , то будь-який вектор з неодмінно має лінійно виражатися через вектори з . Нехай . Тоді є лінійно залежною системою векторів. За другим означенням лінійно залежних систем, існує нетривіальна лінійна комбінація цих векторів, яка дорівнює 0-вектору: . Термін „нетривіальна” означає, що хоча б один коефіцієнт у цій комбінації має бути відмінним від 0. Якщо припустити, що , то будемо мати нетривіальну лінійну комбінацію , що буде означати лінійну залежність векторів . Протиріччя.

Теорему доведено.

Означення (одиничного базису n-вимірного векторного простору). Одиничним базисом n-вимірного векторного простору зветься сукупність векторів:

якщо розглядати вектори-рядки, або

,

якщо розглядати вектори-стовпчики.

Вправа. Довести (безпосередньо за означенням), що вектори одиничного базису є лінійно незалежною системою векторів.

Це означення безпосередньо і очевидно узагальнює поняття одиничного базису площини і простору як відповідно двовимірного і тривимірного векторних просторів. Ми вже розуміємо, що система векторів, взагалі кажучи, може мати кілька базисів. n-вимірний векторний простір має безліч базисів. Це випливає з основної теореми про лінійну залежність і незалежність (див. п. 13.4). Серед цієї нескінченої сукупності є також нескінченна сукупність особливих базисів, частинним представником яких є одиничний базис. Відповідно до введених в §10 геометричних понять одиничні вектори мають одиничну норму (узагальнену „довжину”) й попарно ортогональні. Системи векторів з такими властивостями мають спеціальну назву:

Означення. (Ортонормованої системи векторів).

Система векторів називається ортогональною, якщо всі вектори цієї системи попарно ортогональні, тобто при , і ортонормованою, якщо, до того ж, усі вони мають одиничну норму: .

Теорема (про лінійну незалежність ортогональних систем векторів).

Будь-яка ортогональна система n-вимірних векторів, якщо тільки вона не містить нуль-вектора, є лінійно незалежною.

Д о в е д е н н я. Нехай система векторів є ортогональною, тобто при і не містить 0-вектора. Треба довести, що одна лише тривіальна лінійна комбінація цих векторів може дорівнювати 0-вектору, тобто

.

Для цього треба розглянути скалярні добутки лінійної комбінації

на кожний з векторів і скористатися умовою теореми.

Вправа. Завершити доведення теореми.

Коефіцієнти розкладу вектора за одиничним базисом – це координати вектора. Для знаходження коефіцієнтів розкладу вектора за довільним базисом потрібно розв’язувати систему лінійних рівнянь (див. приклад вище), що є достатньо громіздкою роботою. У випадку ортонормованого базису це здійснюється значно простіше, хоча і вимагає, все ж таки, деяких обчислень.

Приклад. Розглянемо систему векторів

Пересвідчуємось у тому, що ця система векторів є ортонормованою, а отже, утворює базис тривимірного простору, і кожний вектор може бути розкладений, і до того ж однозначно, за цим базисом. Візьмемо вектор . Для нього має існувати розклад: . Помножимо скалярно вектор на і скористаємось властивостями адитивності і однорідності операції скалярного множення, а також ортонормованістю базису:

.

Тепер обчислимо значення скалярного добутку за формулою координатного подання (сума добутків відповідних координат): . Отже, . Аналогічно , . Таким чином, .

Завершуючи розгляд питання про базиси, згадаємо вправу: знайти всі базиси системи векторів

.

Для виконання цієї вправи будуть корисними деякі попередні міркування. Що можна сказати про кількість векторів у базисах даної системи векторів? Базис не може складатися з одного лише вектора, бо тоді всі інші були б йому „пропорційні”, а, отже, вони всі були б колінеарні, а це не так. Не може бути базисом уся дана система векторів, бо вона містить лінійно залежну систему, а отже, й сама є лінійно залежною. Якщо припустити, що система має якийсь базис з трьох векторів, то це може бути лише підсистема або . Але ж вектори лежать у площині векторів і, як видно з їх координат, неколінеарні, а значить, самі визначають ту саму площину і є її базисом. Так що жодного базису з трьох векторів дана система не має. Подальші остаточні висновки зробіть самостійно.

Наведені вище міркування є, можна сказати, лише початковими „літерами” в обгрунтуванні дуже глибокого і тонкого, фундаментального для теорії лінійних векторних просторів факту:

Теорема (про розмірність векторного простору).

Усі базиси лінійного n-вимірного векторного простору складаються в точності з n векторів; інакше кажучи, кількість векторів у довільному базисі векторного простору є інваріантом векторного простору, який заслуговує спеціальної назви: розмірність векторного простору