13.6. Фундаментальна система розв’язків системи лінійних рівнянь.
Ми починаємо завершувати огляд теорії n-вимірних лінійних векторних просторів і повертаємося до її витоків – до систем лінійних рівнянь (СЛР). Наша мета – подати поняття загального розв’язку СЛР на основі поняття базису. По-1-е, за основною теоремою про множину розв’язків СЛР, ця множина або є порожньою, або містить один єдиний елемент, або є нескінченною. По-2-е, за основною теоремою про множину розв’язків неоднорідної СЛР, ця множина може бути утворена з множини розв’язків відповідної однорідної СЛР додаванням до неї якогось одного-єдиного частинного розв’язку неоднорідної СЛР. Нарешті, по-3-є, за основною теоремою про множину розв’язків однорідної СЛР, ця множина є підпростором у n-вимірному векторному просторі, а отже, породжується своїми базисами.
То ми почнемо саме з однорідної СЛР. Застосуємо до неї метод Гаусса, який встановить, якою (порожньою, одноелементною чи нескінченною) є множина розв’язків і розглянемо останню альтернативу. Метод Гаусса розв’язує СЛР відносно деякого набору змінних, без обмеження загальності міркувань можна вважати, що відносно перших m змінних:
Тут
– вільні змінні, яким можна надавати
будь-які (незалежно) значення, і тоді ми
отримуємо значення змінних
,
які усі разом дають розв’язок СЛР.
Утворимо особливі частинні розв’язки,
надаючи змінним
,
по черзі, одній значення 1, а решті –
значення 0:
Якщо
„вкоротити” ці вектори, відкинувши їх
перші
координат, то утворяться вектори
одиничного базису простору відповідної
розмірності. Таким чином, й самі вектори
є лінійно незалежними і, як неважко
показати (показати
!) утворюють
базис підпростору розв’язків однорідної
СЛР, тобто довільний розв’язок однорідної
СЛР є лінійною комбінацією векторів
.
Утворена таким способом система
розв’язків
називається фундаментальною
(або базисною)
системою
розв’язків однорідної СЛР.
Якщо скористатися результатом роботи методу Гаусса
і покласти значення усіх вільних змінних рівними 0, то ми отримаємо частинний розв’язок неоднорідної СЛР:
.
Звідси маємо формулу довільного (загального) розв’язку неоднорідної СЛР:
,
яка дає підстави назвати систему векторів
фундаментальною системою розв’язків СЛР.
13.7. Критерій сумісності систем лінійних рівнянь.
Завершальний момент повернення до витоків: формулювання критерію сумісності (існування розв’язку) системи лінійних рівнянь. Його опосередковує поняття рангу матриці, якому передує поняття рангу системи векторів, підставою для чого є інваріантність кількості елементів у будь-якому базисі.
Рангом системи векторів називається кількість елементів базису цієї системи векторів.
З системою лінійних рівнянь
пов’язані поняття розширеної і основної матриць системи:
– розширена
матриця СЛР,
– основна матриця
СЛР.
Кожну матрицю можна розглядати як систему векторів-рядків і як систему векторів-стовпчиків. Для кожної з зазначених систем векторів існують базиси, причому, за властивістю інваріантності кількості елементів, можна коректно ввести поняття рангу системи векторів, рангу матриці за стовпчиками, рангу матриці за рядками. Крім того, є поняття мінору матриці – це визначник, утворений з елементів матриці, розташованих на перетині деяких рядків і деяких (такої самої кількості) стовпчиків. Базисний мінор матриці – це мінор найбільшого порядку, відмінний від нуля. Ранг матриці за мінорами – це порядок базисного мінору матриці.
Має місце ще більш тонка й глибока за внутрішнім змістом, аніж теорема про розмірність векторного простору, –
Теорема (про ранг матриці).
Ранг матриці за рядками дорівнює рангу матриці за стовпчиками і дорівнює рангу матриці за мінорами.
Ця теорема дає підстави для вживання узагальнюючого терміну ранг матриці.
Сумісність СЛР, як вже зазначалось раніше, означає лінійну залежність стовпчика вільних членів від стовпчиків основної матриці СЛР. Виявляється, що ця залежність є визначальною, тобто, необхідною і достатньою, умовою , критерієм сумісності СЛР:
Теорема (критерій Кронекера-Капеллі сумісності системи лінійних рівнянь).
Система лінійних рівнянь є сумісною тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.
-