11.7. Застосування оберненої матриці до розв’язання систем лінійних рівнянь.
Припустимо, що ми маємо СЛР
,
де матриця
є квадратною. Припустимо, що
має обернену матрицю
.
Помножимо на
обидві частини векторно-матричного
рівняння:
.
Користуючись властивостями матричного множення (якими ?), отримаємо:
.
Але
.
Отже отримуємо формулу
розв’язку СЛР з використанням оберненої
матриці:
.
Ця формула найбільш
корисна, коли при фіксованій матриці
вектор вільних членів
може варіюватися. Наприклад, у наведеному
вище прикладі, пов’язаному з математичною
економікою, можна досліджувати різні
варіанти плану виробництва. Тоді можна
один раз обчислити обернену матрицю
і швидко знаходити відповідні планові
показники, не розв’язуючи кожного разу
СЛР, а обчислюючи лише добуток матриці
на вектор.
Метод оберненої матриці застосовний не лише у випадку квадратних СЛР.
Приклад. Розглянемо СЛР:
Утворимо матрицю з коефіцієнтів при змінних і , тобто, фактично, з 2-го і 4-го стовпчиків основної матриці СЛР:
– розширена
матриця СЛР,
– основна матриця
СЛР,
– матриця, утворена
з 2-го і 4-го стовпчиків
основної матриці .
Знайдемо
=
.
Перевірка:
=
=
=
.
Обернена матриця обчислена вірно.
Помножимо
зліва на розширену матрицю СЛР:
=
=
=
– розширена матриця СЛР, розв’язаної
відносно змінних
і
,
що дозволяє виписати загальний розв’язок
СЛР:
.
Вправа. Використовуючи матричну форму запису СЛР, обгрунтувати застосований спосіб розв’язання СЛР.
§12. Визначники n-го порядку, їх обчислення та застосування.
Теорема Крамера для СЛР 2х2 і 3х3 як джерело виникнення поняття визначника. Аналіз понять визначника 2-го і 3-го порядків. Формування поняття визначника n-го порядку як узагальнення понять визначника 2-го і 3-го порядків: формування доданків-множників за допомогою поняття перестановки, визначення знаку доданку-множника за допомогою поняття інверсії. Означення визначника n-го порядку. Загальне формулювання теореми Крамера. Обчислення визначників за означенням за допомогою ітераційного способу генерування всіх перестановок n чисел. Обчислення визначників шляхом формування множини “суттєвих” (ненульових) доданків-добутків. Властивості визначників n-го порядку. Загальний метод обчислення визначників довільного порядку зведенням до трикутного виду за допомогою методу Гаусса. Розкладення визначника за елементами рядка або стовпчика. Детермінантна формула для обчислення оберненої матриці.
Поняття визначника 2-го і 3-го порядків з’явилось в нашому курсі при аналітичному розв’язанні геометричної задачі знаходження перетину прямих ліній і площин (див. § 2). Це поняття використовує теорема і правило Крамера, яке дає формули для обчислення координат точок перетину. Саме так поняття визначника виникло історично. Одразу ж після розгляду зазначеної задачі ми побачили, як поняття визначника дозволяє елегантно і красиво дати формули координатного подання векторного і змішаного добутку(див. §,§ 5,6). Історично поняття визначника виникло при розв’язанні та аналізі систем лінійних рівнянь (СЛР). Якщо метод Гаусса – це алгоритмічний процес, то правило Крамера складається з компактних формул, основними компонентами яких є визначники.