Тема 7. Приложения производной
Исследование функций на монотонность.
Исследование функций на экстремум, необходимые и достаточные условия.
Исследование функций на выпуклость и вогнутость, точки перегиба.
Асимптоты графика функции.
Полное исследование функции и построение графика.
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на замкнутом отрезке.
Предельный анализ в экономике.
Эластичность функций.
Тема 8. Функции нескольких переменных
Определение функции нескольких переменных. Область определения и область значений.
Линии и поверхности уровня.
Частные производные функции нескольких переменных.
Полный дифференциал функции нескольких переменных.
Производная по направлению и градиент.
Исследование на экстремум функции двух переменных.
Задачи и примеры для подготовки к зачету
1. Вычислить определители второго
порядка:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
д)
.
2. Решить уравнение:
.
3. Решить системы двух уравнений с двумя
неизвестными по правилу Крамера:
а)
б)
в)
4. При каких значениях параметра
система имеет единственное решение:
5. Вычислить определители третьего
порядка разложением по первой строке
- а), б) и первому столбцу - в), г):
а)
б)
в)
г)
6. Вычислить определители третьего
порядка с помощью « правила треугольников»:
а)
б)
в)
7. Вычислить определители третьего
порядка методом разложения по какой-нибудь
строке или столбцу: а)
б)
в)
8. Используя метод разложения определителя
по элементам любой строки или любого
столбца, вычислить определители: а)
б)
9. Решить по правилу Крамера следующие
системы уравнений:
а)
б)
в)
10. Элементами квадратной матрицы
третьего порядка являются числа
.
Требуется: а) составить матрицу
;
б) транспонировать эту матрицу.
11. Составить диагональную матрицу
третьего порядка, элементами главной
диагонали которой являются числа
(при
).
12. Найти матрицу
,
которая является линейной комбинацией
матриц
и
13. Найти линейную комбинацию
матриц
14. Проверить, являются ли данные матрицы
и
перестановочными: а)
б)
15. Вычислить произведение двух матриц:
а)
б)
в)
16. Найти матрицу
обратную
для матрицы
если: а)
;
б)
в)
17. Решить матричные уравнения:
а)
б)
в)
18. Решить матричные уравнения:
а)
б)
19. Решить следующие системы уравнений
матричным методом: а)
б)
в)
20. Решить следующие системы методом
Гаусса:
а)
б)
в)
21. На плоскости
построить области, координаты точек
которых удовлетворяют следующим
системам линейных неравенств:
а)
б)
в)
.
22. Показать, что векторы
и
образуют базис двухмерного пространства
и найти координаты вектора
в этом базисе.
23. При каком значении параметра
векторы
и
-
перпендикулярны, найти длину вектора
.
24. Найти угол между векторами
и
25. Вычислить
,
где
.
26. Дана прямая
.
Определить угловой коэффициент
прямой: а) параллельной данной
прямой; б) перпендикулярной к данной
прямой
27.. Найти точку пересечения двух прямых
и
.
28. Дана прямая
.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку
:
а) параллельно данной прямой; б)
перпендикулярно к данной прямой.
29. Даны вершины треугольника
,
определить: а) величину угла
;
б) длину стороны
;
в) длину высоты, опущенной из вершины
;
г) уравнение прямой, проходящей через
вершину
,
параллельно стороне
;
д) площадь треугольника.
30. Найти проекцию точки
на прямую, проходящую через точки
и
.
31. Определить угол
,
образованный двумя прямыми:
и
.
32. Найти расстояние между двумя
параллельными прямыми:
и
.
33. Доказать, что прямая
пересекает отрезок, ограниченный
точками
и
.
34. Составить уравнение плоскости,
которая проходит через точку
и имеет нормальный вектор
.
Найти расстояние от точки
до этой плоскости.
35. Найти объединение и пересечение
двух множеств
и
.
36. Найти пределы: а)
б)
в)
г)
д)
е)
37. Раскрыть неопределенности с помощью
первого замечательного предела:
а)
б)
в)
38. Раскрыть неопределенности с помощью
второго замечательного предела:
а)
б)
в)
г)
.
39. Найти производные следующих функций:
а)
;
б)
в)
г)
д)
е)
.
40. Составить уравнения касательных к
графикам функций: а)
- в точках пересечения с осями координат;
б)
в точке пересечения с осью
.
41. Раскрыть неопределенности с помощью
правила Лопиталя: а)
б)
в)
г)
д)
42. Исследовать на экстремум функции:
а)
б)
.
43. Найти наибольшее и наименьшее значения
функции на заданном отрезке: а)
б)
в)
44. Провести полное исследование функций
и построить их графики: а)
б)
в)
45. Найти эластичность спроса по цене
и дать экономическую интерпретацию,
если функция спроса имеет вид: а)
при
б)
при
46. Построить линии уровня следующих
функций:
а)
б)
в)
г)
.
47. Найти частные производные следующих
функций: а)
б)
в)
;
г)
.
48. Найти градиенты функций в указанных
точках:
а)
б)
в)
49. Найти частные производные второго
порядка от функций:
а)
б)
в)
г)
50. Найти экстремумы функций: а)
б)
